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1 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Logaritmos. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con números reales. Propiedades de las potencias. Ecuaciones. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. Logaritmo de un número. Definición: El logaritmo de un número n en base a se define como el número al que hay que elevar a para obtener el número n. a y = x log a x = y 2 2 = 4 4 = 2 Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el número al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 ( 4 = 2). 2 3 = 8 8 = 3 Dos elevado a 3 es 8, por lo tanto, el número al que hay que elevar a 2 para obtener 8 es 3 ( 8 = 3). Otros ejemplos son: 2 4 = = = 9 log 3 9 = = 27 log 3 27 = = log = 4 El logaritmo es, por tanto, la operación inversa a la potencia, igual que la división es la operación inversa del producto. Hay que tener en cuenta que: a n = 1 a n Esto es muy importante cuando hay decimales en el logaritmo = = 0,0001 log 10 0,0001 = 4

2 2 LOGARITMO DE UN NÚMERO = = 0,25 0,25 = 2 Piense el lector, ayudándose de las propiedades de las potencias, los siguientes logaritmos: 1 = 0 log 3 1 = 0 log 5 1 = 0 Esto es porque una de las propiedades de las potencias es a 0 = 1. Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos: = 2. log 3 81 = 3. log 10 0,001 = 4. 0,5 = Es importante recordar que: 1. Sólo está definido para valores positivos. Así, por ejemplo, el logaritmo de -2 no existe, independientemente de la base. 2 = No existe. 2. El logaritmo de 0 no existe, independientemente de la base. 0 = No existe. 3. El resultado de un logaritmo puede ser cualquier número. Esto se expresa diciendo que la imagen de la función logaritmo está dada por Im f(x) = (, ). Definición: Los logaritmos en base 10 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base: log x = log 10 x Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos: 1. log = 2. log 100 = 3. log 0,001 = 4. log 0,01 = 5. log 0,01 =

3 2 LOGARITMO DE UN NÚMERO. 3 Al igual que π = 3, es un número importante dentro de las matemáticas, existe otro número muy importante, el número e, cuyo valor es e = 2, Definición: Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poniendo el símbolo ln: lnx = log e x 2.1. Propiedades de los logaritmos. Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la raíces en divisiones. log a (x y) = log a x + log a y (4 16) = = = 6 ( ) x log a = log y a x log a y ( ) 4 = log = 2 4 = 2 log a (x y ) = y log a x 4 2 = 2 4 = 2 2 = 4 log a ( y x) = 1 y log a x 3 4 = = 2 3

4 3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 4 log a x = log b x log b a Esta propiedad es muy interesante para poder calcular el logaritmo en una base, partiendo de otra base distinta. Por ejemplo, se sabe que el log 3 9 = 2 y log 3 27 = 3 el log 9 27 sería: log 9 27 = log 3 27 log 3 9 = 3 2 A veces aparecen expresiones en las que habrá que usar varias de las propiedades: log x y2 3 z = log x + 2log y 1 3 log z Ejercicios: 1. Comprobar las siguientes operaciones con logaritmos. Usar las propiedades de los logaritmos vistas en este apartado: a) (16 32) = 9 b) log 3 (81 27) = 7 c) log(0,001 2 ) = 6 d) log x y z = log x + log y + log z e) log x y z a b = log x + log y + log z log a log b f ) log x y z x 2 y = log x 2log y + log z 3 2. Sabiendo que 4 = 2 y que 8 = 3, Por qué el log 4 8 vale 3 2? 3. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparecen logaritmos conteniendo incógnitas. Cuidado, por que: log(x + 2) + = log 3 + x + = log 3 No es una ecuación logarítmica, ya que, los logaritmos no contienen incógnitas. Para resolver estas ecuaciones habrá que aplicar las propiedades de los logaritmos en sentido inverso para, al final, obtener una igualdad entre dos logaritmos.

5 3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 5 Por ejemplo, se desea resolver: log(x + 2) + = log 3 + Se aplican las propiedades de los logaritmos en sentido inverso, por ejemplo: log a (x y) = log a x + log a y log a x + log a y = log a (x y) ) ) log a ( x y = log a x log a y log a x log a y = log a ( x y Aplicado a este caso: log(x + 2) + = log 3 + } {{ } } {{ } log[(x+2) 2] log( 3x 3 ) log[(x + 2) 2] = log( 3x 3 ) Cuando se obtiene la igualdad entre logaritmos hay que igualar los argumentos de los logaritmos y resolver la ecuación resultante. Si log[(x + 2) 2] = log( 3x 3 ) evidentemente se deberá cumplir que: (x + 2) 2 = 3x 3 Resolviendo: 2x + 4 = x x = 4 Todas las soluciones se deben comprobar siempre, ya que, el logaritmo de un número negarivo no existe. Otro ejemplo, se va a resolver la siguiente ecuación: log(2x 2) + = 2 logx En este caso habrá que recordar la siguiente propiedad de los logaritmos: log a (x y ) = y log a x y log a x = log a (x y ) Aplicando las propiedades de los logaritmos en sentido inverso a la ecuación que se desea resolver: log(2x 2) + } {{ } log[(2x 2) 2] Como log[(2x 2) 2] = log x 2 evidentemente: = 2 log x } {{ } log x 2 (2x 2) 2 = x 2 2 log[(2x 2) 2] = log x Resolviendo: (2x 2) 2 = x 2 4x 4 = x 2 0 = x 2 4x + 4 x = 2 Otra situación, que se suele dar, es que los logaritmos se encuentren en bases distintas. Todos los logaritmos deben estar en la misma base para poder ser operados. Para evitar este inconveniente habrá que usar la siguiente propiedad: log a x = log b x log b a

6 4 ECUACIONES EXPONENCIALES. 6 (x 1) + log 3 = En este caso el (x 1) es el único que tiene una base diferente. Aplicando las propiedades de los logaritmos: (x 1) + log 3 = } {{ } log(x 1) log(x 1) log(x 1) = + log 3 = log(x 1) = log 3 log 3 log(x 1) = log 3 log(x 1) = log 3 log(x 1) = 3x x 1 = x = Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones: 1. log x = log 3 2. log x 2 = log 18 log x ( ) 3. log 3 x 5 = log 7 4. log(x) log(x 2 ) = log(6) Sol. 1. x = 3/2, 2. x=6, 3. x = 70/3, 4. x = 6 4. Ecuaciones exponenciales. Empecemos recordando las propiedades de las potencias: a m a n = a n+m a n+m = a m a n a m a n = am n a m n = am a n (a m ) n = a m n a m n = (a m ) n Una ecuación exponencial será aquella donde la incógnita aparece en el exponente de alguna potencia. Por ejemplo: 2 x + 4 x+1 = 3x 3 1 x Para resolver una ecuación exponencial se seguirán los siguientes pasos:

7 4 ECUACIONES EXPONENCIALES. 7 ❶ Se aplican las propiedades de las potencias hasta conseguir una igualdad entre dos potencias. Se va a resolver la ecuación: Aplicando las propiedades de las potencias: 2 x 4 x+1 = 3x 3 1 x 2 x 4 }{{} x+1 3 x = (2 2 ) } 3 1 x {{ } x+1 3 x (1 x) 2 x (2 2 ) x+1 = 3 x (1 x) 2 x 2 2x+2 = 3 2x 1 2 x+2x+2 = 3 2x 1 2 3x+2 = 3 2x 1 ❷ Una vez que ya se ha conseguido la igualdad entre las potencias, se toman logaritmos en ambos lados de la igualdad y se resuelve la ecuación resultante. 2 3x+2 = 3 2x 1 3x+2 = log 3 2x 1 Ahora se aplican las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación: 3x+2 = log 3 2x 1 (3x + 2) = (2x + 1)log 3 x = log 3 2 log2 3 log2 2 log 3 Hay ecuaciones en las que habrá que descomponer algún número en factores para poder operarlas. Por ejemplo: 2 x = 16 En este caso 16 = 2 4, por lo que: Por lo tanto: 2 x = 16 2 x = x = 16 2 x = 2 4 x = 4 x = 4 x = 4 Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 2 x = x 2 2 = x = x + 3 x+2 = 39 Sol.: 1. x = 4, 2. x = 1, 3. x = 4, 4. x = 1,24

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