Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves


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1 INTERES SIMPLE OBJETIVOS: Al finalizar el estudio del presente capítulo, el estudiante será capaz de: 1. Explicar los conceptos de interés simple, monto o valor futuro, valor presente o valor actual, tiempo. 2. Explicar y distinguir la diferencia entre descuento comercial o bancario, descuento racional o matemático. 3. Plantear y resolver ejercicios relacionados con el cálculo del valor futuro, valor presente, tiempo tasa de interés y los diferentes tipos de descuento. 4. Plantear y resolver ejercicios relacionados con las ecuaciones de valor a interés simple. DEINICION DEL INTERES SIMPLE Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital (P) y al tiempo (n). El interés simple, se puede calcular con la siguiente relación: I P i n (formula 2.1) En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés ( i) y el tiempo ( n). En la ecuación (2.1) se deben tener en cuenta dos aspectos básicos: a. La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin el símbolo de porcentaje. b. La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de tiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de tiempo del plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un problema específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés deberá usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se específica la unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual. 1

2 Ejemplo 2.1. Si se depositan en una cuenta de ahorros $ y la corporación paga el 3% mensual. Cuál es el pago mensual por interés? Capital inicial P = $ ; a un tiempo n = 1 mes; con una tasa de interés i 3% mensual I P i n; I $ / mes. De ahí que el depositante recibirá cada mes $ por interés. 2.3 CLASES DE INTERES SIMPLE El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30 días al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da claridad a lo expuesto con anterioridad. Ejemplo 2.2 Una persona recibe un préstamo por la suma de $ para el mes de marzo, se cobra una tasa de interés de 20% anual simple. Calcular el interés (I), para cada una de las clases de interés simple. a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360 días y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más se utiliza. I Pin $ , 44 b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360 días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer simplificaciones 30 I Pin $ , 360 c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de interés producen un error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado exacto, lo cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes, porque las diferencias serán significativas cuando se usa otra clase de interés 2

3 diferente al racional. Lo importante, es realizar cálculos de intereses que no perjudiquen al prestamista o al prestatario. 31 I Pin $ , d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa 365 o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente, no tiene utilización y es el más barato de todos. 30 I Pin $ , Ejemplo 2.3 Calcular el interés comercial y real de un préstamo por $ al 30% por 70 días Solución a) Interés comercial. I Pin $ , b) Interés real o exacto I Pin $ , Se observa que el interés comercial resulta más elevado que el interés real para el mismo capital, tasa de interés y tiempo. Esta ganancia adicional hace que el año comercial sea muy utilizado en el sector financiero y en el sector comercial que vende a crédito. Hay que recordar y dejar claro, que cuando el tiempo en un préstamo esta dado en días, es indispensable convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria usando el año de 365 días o 366 si es bisiesto como divisor en la fórmula del interés simple o del monto, el interés obtenido se llama interés real o interés exacto. El año de 365 días o 366 se conoce como año natural. Cuando se lleva a cabo la conversión usando como divisor 360 días, se dice que se está usando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario. Si un problema no menciona de forma explícita cuál tipo de interés debe calcularse, entonces se supone que se trata del cálculo de un interés comercial. 3

4 2.4 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple: a. Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado b. No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor final no es representativo del valor inicial. c. No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por consiguiente, pierden poder adquisitivo. 2.5 TABLA DE DIAS Para realizar los cálculos de manera correcta, es necesario conocer el manejo de la tabla de días, para determinar en forma exacta los días que transcurren entre una fecha y otra, lo cual, es importante para el interés bancario y el racional La construcción de la tabla consiste en asignarle a cada día del año un número en forma consecutiva; esta asignación va desde el número 1, que corresponde al primero de enero, hasta el número 365, que corresponde al 31 de diciembre. Cuando el año es bisiesto, hay que adicionar un día, a partir del primero de marzo, por lo cual, el 31 de diciembre sería el día 366. Para facilitar la identificación de las fechas, se seguirá el siguiente formato: los primeros dos dígitos indicaran los días, y variaran entre 01 y 31, los dos dígitos siguientes indicaran el mes, y variaran entre 01 y 12, y los últimos cuatros dígitos indicaran el año. Por ejemplo, el 14 de abril de 2004, se podrá expresar de la siguiente manera: La tabla de días se muestra a continuación. En la siguiente página analice la tabla con atención: 4

5 Ejemplo 2.4 Calcule los días transcurridos entre el 5 de abril de 2003 y 28 de diciembre del mismo año. Solución Según la tabla, los días transcurridos entre el inicio del año y el 5 de abril son 95, mientras; los días entre el inicio del año y el 28 de diciembre son 362, por lo tanto, por diferencia = 267 días. El cálculo realizado anteriormente, se refiere al año real o exacto, si desea calcular los días con base al año comercial (360 días, es decir, meses de 30 días), siga el siguiente procedimiento. 5

6 Ejemplo 2.5: Hallar los días transcurridos, entre el 20 mayo de 2001 y 25 de noviembre de Teniendo en cuenta que la tabla está diseñada para un año, se debe calcular, por separado los días que hay en cada año y luego sumarlos. Los días transcurridos entre el inicio del año 2001 y el 20 de mayo de 2001, son 140, por lo tanto, los días que hay entre el 20 de mayo de 2001 y el 31 de diciembre del mismo son: = 225, mientras los días transcurridos entre el inicio del año 2002 y el 25 de noviembre de 2002, según la tabla son 329. Entonces, los días transcurridos entre el 20 mayo de 2001 y 25 de noviembre de 2002, son: = 554 días Ahora si el año se toma de 360 días, se obtendrá como respuesta 545 días. 2.6 MONTO O VALOR UTURO A INTERES SIMPLE. A la suma del capital inicial, más el interés simple ganado se le llama monto o valor simboliza mediante la letra. Por consiguiente, la (2.2), se tiene, P Pin P in P I futuro simple, y se (formula 2.2) Al reemplazar la ecuación (2.1) en 1 (formula 2.3) Las ecuaciones (2.2) y (2.3) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de simple i % por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. El uso de la ecuación (2.3), requiere que la tasa de interés 6

7 (i) y el número de períodos (n) se expresen en la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el problema Ejemplo 2.6 Hallar el monto de una inversión de $ , en 5 años, al 25% EA. Solución 2.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERES SIMPLE Se sabe que: P in, P (formula 2.4) 1 i n 1 y multiplicando a ambos lados por el inverso de in 1, se tiene que Ejemplo 2.7: Dentro de dos años y medio se desean acumular la suma de $ a una tasa del 2.8% mensual, Cuál es el valor inicial de la inversión? P i n 1 0, $ , De acuerdo al cálculo anterior, el valor presente, simbolizado por P, de un monto o valor futuro que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida hoy a una tasa de interés dada producirá el monto. Encontrar el valor presente equivale a responder la pregunta: Qué capital, invertido hoy a una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto dado?. En caso de una obligación el contexto, es exactamente el mismo, la pregunta sería: Qué capital, prestado hoy a una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto futuro a pagar? Ejemplo 2.8 Hallar el valor presente de $ en 4 años y medio, al 3% mensual. 7

8 a. De forma mensual: el tiempo n= 4,5.12 = 54 meses b. De forma anual i 0, % anual P i n 1 0, 36 4, , 2.8 CALCULO DE LA TASA DE INTERES SIMPLE. Partiendo que: P i n lado de la ecuación se obtiene: inverso de n, resulta: 1 multiplicando a ambos lados por el inverso de P y restando uno a ambos 1 P i n 1 i n, si luego se multiplican los dos términos de la ecuación por el P (formula 2.5) Ejemplo 2.9: Una persona le prestó a un amigo la suma de $ y paga después de 8 meses la suma de $ Qué tasa de interés mensual simple le cobraron? Solución P i m 2, 5%m n 8 8

9 2.9 CALCULO DEL TIEMPO (n) Partiendo que: P i n lado de la ecuación se obtiene: inverso de i, resulta: 1, multiplicando a ambos lados por el inverso de P y restando uno a ambos 1 P n i P 1 (formula 2.6) i n si luego se multiplica los dos términos de la ecuación por el Ejemplo 2.10: En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 20% de interés anual simple? P 1 n 5 años i 0, 20 Ejemplo 2.11 En cuánto tiempo se acumularían $ si se depositan hoy $ en un fondo que paga al 3% simple mensual? P n 73, 3meses i 0, 03 Este material ha sido tomado de la bibliografía anexa la cual puede consultar como ayuda a su curso: Jaramillo Betancur, ernando. Matemática inanciera y su uso para las decisiones en un entorno internacional. 1ª Edición. Universidad de Antioquia Jaramillo Vallejo, elipe. Matemáticas inancieras Básicas Aplicadas. 1ª Edición. Alfaomega Ramírez C. et all. (2009). undamentos de matemáticas financieras. Centro de investigaciones. Universidad Libre Cartagena. Mora Zambrano, Armando. Matemáticas inancieras. 2ª Edición. Alfaomega Navarro, E & Nave, J. undamentos de Matemáticas inancieras. 1ª Edición. A.Bosch Portus Govinden, Lyncoyan. Matemáticas inancieras. 4ª Edición. Mc Graw Hill Riggs, James L & Otros. Ingeniería Económica. 4ª Edición. Alfaomega Ruíz, Héctor Alfonso. Matemáticas inancieras. 2ª Edición. Universidad Santo Tomás Sánchez Vega, Jorge E. Manual de Matemáticas financieras. 1ª Edición. Ecoe

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