Introducción a las Matemáticas Financieras Carlos Mario Morales Castaño


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1 Introducción a las Matemáticas Financieras Carlos Mario Morales Castaño

2 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Finanzas del proyecto Introducción a las Matemáticas Financieras No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del titular del copyright. DERECHOS RESERVADOS 2014 por Carlos Mario Morales C. carrera 77c No Medellín- Colombia Teléfono: E_Mail: Impresión digital en Colombia. Datos Catalográficos para citar este libro Finanzas del proyecto: Introducción a las Matemáticas Financieras Carlos Mario Morales C. Centro Editorial Esumer. Medellín, 2014 ISBN: Formato 17x24 cm. Páginas: 288 ii

3 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Tabla de contenido Presentación... xiv UNIDAD 1: INTERÉS Introducción Valor del dinero en el tiempo Interés Interés Simple Tasa de interés Modelo de interés simple Clases de interés simple Interés Ordinario Interés Exacto Ejemplos de cálculo del interés simple Flujo de Caja: Representación gráfica de las operaciones financieras Capital Final Valor futuro (Vf) Capital Inicial Valor presente (Vp) Tasa de interés ( ) Numero de períodos ( ) Interés anticipado y descuentos Operaciones de Descuento Tasa de interés real en una operación de descuento Descuentos en Cadena UNIDAD 2: INTERÉS COMPUESTO Introducción Concepto de interés compuesto Modelos de interés compuesto Valor futuro (Vf) Interés (I) Valor presente (Vp) Número de períodos (n) Tasa de interés (i) iii

4 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 3. Tasas de Interés Tasa Nominal Tasa Efectiva Relación entre Tasa Efectiva y Nominal Tasa de Interés Anticipado Equivalencia entre tasas de interés Equivalencia entre tasas efectivas Equivalencia entre tasas vencidas y tasas anticipadas Tasa vencida equivalente a una tasa anticipada Tasa anticipada equivalente a una tasa vencida Tasa nominal equivalente de una tasa efectiva Tasa efectiva equivalente de una tasa nominal Ecuaciones de valor Concepto de Ecuación de Valor Modelo de la Ecuación de Valor Operaciones financieras con aplicación de interés compuesto Depósitos a término fijo DTF TCC CDAT Inflación y Deflación Devaluación y revaluación Tasa Representativa del Mercado ( ) Calculo de la Tasa de Cambio Tasa de Interés Combinadas Tasa corriente y Tasa deflactada o tasa real Equivalencia de tasas referenciadas Aceptaciones bancarias y financieras UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES Introducción Anualidades iv

5 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 1.1 Valor presente de la anualidad Pagos o rentas a partir del valor presente Pagos o rentas con base en el valor futuro Valor futuro de la Anualidad Número de pagos con base en el valor futuro Número de pagos con base en el valor presente Tasa efectiva de interés a partir del valor presente Anualidades anticipadas Valor presente de las anualidades anticipadas Valor futuro de las anualidades anticipadas Anualidades Diferidas Valor presente de las anualidades diferidas Valor futuro de las anualidades diferidas Anualidades perpetuas Gradientes Gradiente aritmético Ley de formación Valor presente de un gradiente aritmético Valor futuro de un gradiente aritmético Valor presente de un gradiente aritmético perpetuo Gradiente geométrico Ley de formación Valor presente de un gradiente geométrico Valor futuro de un gradiente geométrico Valor presente de un gradiente geométrico perpetuo. 157 UNIDAD 4: AMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN Introducción Características de un sistema de amortización Sistemas de amortización Amortización mediante abonos iguales de capital Amortización con Cuotas Iguales v

6 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 2.3 Amortización con Cuotas Iguales y Cuotas Extras Pactadas Amortización con Cuotas Iguales Periódicas y Extras Puntuales Pactadas Amortización con Cuotas Iguales y Extras periódicas pactadas Amortización con Cuotas Iguales y Cuotas Extras no Pactadas Amortización con Cuotas Iguales y Cuotas Extras afectando el Valor Amortización con Cuotas Iguales y Extras afectando el número de cuotas Amortización con períodos de gracia Amortización con Períodos de Gracia Muertos Amortización con Períodos de Gracia con Cuotas Reducidas Amortización mediante Gradiente Amortización mediante Gradiente Escalonado Amortización en Valores Constantes Sistemas de Capitalización Capitalización diferida Capitalización con cuotas extras pactadas Fondos de amortización UNIDAD 5: CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS Introducción Tasa Mínima Aceptable de Rentabilidad (TMAR) o tasa de descuento Costo de la Deuda Costo del Capital Propio Tasa de descuento corriente y constante Criterios de Evaluación de Proyectos Valor presente neto (VPN) Proyectos Individuales Alternativas Mutuamente Excluyentes con Igual Vida Útil Alternativas Mutuamente Excluyentes con Diferente Vida Útil Alternativas con Vida Útil Infinita Costo Anual Equivalente (CAE) Tasa Interna de Retorno (TIR) Calculo analítico de la Tasa Interna de Retorno 254 vi

7 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Calculo gráfico de la Tasa Interna de Retorno Interpretación de la tasa interna de retorno TIR Desventaja de la tasa interna de retorno Tasa Única de Retorno (TUR) Calculo de la Tasa Única de Retorno (TUR) Interpretación de la Tasa Única de Retorno Análisis Beneficio-Costo (B/C) Análisis de Sensibilidad Punto de equilibrio entre dos alternativas Procedimiento General para el Análisis de Sensibilidad Análisis de sensibilidad Variación del Precio Análisis de sensibilidad Variación de la Demanda Análisis de sensibilidad Multi-variable RELACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS vii

8 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Relación de ejemplos y casos 1.1 TASA DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE BANCARIO INTERÉS SIMPLE COMERCIAL INTERÉS SIMPLE RACIONAL INTERÉS SIMPLE RACIONAL SIN BISIESTO INTERÉS SIMPLE TIEMPO APROXIMADO VALOR FUTURO INTERÉS SIMPLE VALOR PRESENTE INTERÉS SIMPLE TASA DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE NÚMERO DE PERÍODOS- INTERÉS SIMPLE OPERACIONES DE DESCUENTO OPERACIONES DE DESCUENTO TASA EFECTIVA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO DESCUENTOS EN CADENA INTERÉS COMPUESTO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO INTERÉS INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE INTERÉS COMPUESTO NÚMERO DE PERÍODOS INTERÉS COMPUESTO TASA DE INTERÉS TASA DE INTERÉS NOMINAL TASA DE INTERÉS EFECTIVA RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS RELACIÓN ENTRE TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS RELACIÓN ENTRE TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS viii

9 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 2.17 ECUACIÓN DE VALOR ECUACIÓN DE VALOR ECUACIÓN DE VALOR ECUACIÓN DE VALOR DEPÓSITOS A TÉRMINO FIJO INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN TASAS DE REFERENCIA TASAS DE REFERENCIA ACEPTACIONES BANCARIAS DEFINICIÓN DE ANUALIDADES DEFINICIÓN DE ANUALIDADES DEFINICIÓN DE ANUALIDADES DEFINICIÓN DE ANUALIDADES VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PAGOS O RENTAS DE UNA ANUALIDAD PAGOS O RENTAS DE UNA ANUALIDAD VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD NÚMERO DE PAGOS DE UNA ANUALIDAD VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD TASA DE INTERÉS EFECTIVA DE UNA ANUALIDAD VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PERPETUA VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO PERPETUO VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ix

10 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 3.21 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO PERPETUO TABLA DE AMORTIZACIÓN TABLA DE AMORTIZACIÓN ABONOS IGUALES DE CAPITAL TABLA DE AMORTIZACIÓN CUOTAS IGUALES TABLA DE AMORTIZACIÓN CUOTAS IGUALES Y EXTRAS PUNTUALES PACTADAS TABLA DE AMORTIZACIÓN CUOTAS IGUALES Y EXTRAS PERIÓDICAS PACTADAS TABLA DE AMORTIZACIÓN CUOTAS IGUALES Y EXTRAS NO PACTADAS TABLA DE AMORTIZACIÓN CUOTAS IGUALES Y EXTRAS NO PACTADAS TABLA DE AMORTIZACIÓN CON PERÍODOS DE GRACIA MUERTOS TABLA DE AMORTIZACIÓN CON PERÍODOS DE GRACIA CUOTAS REDUCIDAS TABLA DE AMORTIZACIÓN GRADIENTES TABLA DE AMORTIZACIÓN GRADIENTES TABLA DE AMORTIZACIÓN GRADIENTES ESCALONADOS TABLA DE AMORTIZACIÓN EN VALORES CONSTANTES TABLA DE CAPITALIZACIÓN TABLA DE CAPITALIZACIÓN DIFERIDA TABLA DE CAPITALIZACIÓN CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS TABLA DE CAPITALIZACIÓN FONDOS DE AMORTIZACIÓN VALOR PRESENTE NETO PROYECTOS INDIVIDUALES VALOR PRESENTE NETO PROYECTOS INDIVIDUALES VPN ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON IGUAL VIDA ÚTIL VPN ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON IGUAL VIDA ÚTIL VPN ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTE VIDA ÚTIL VPN ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTE VIDA ÚTIL VPN ALTERNATIVAS CON VIDA ÚTIL INFINITA CAE ALTERNATIVAS CON IGUAL VIDA ÚTIL CAE ALTERNATIVAS CON DIFERENTE VIDA ÚTIL CAE ALTERNATIVAS CON VIDA ÚTIL INFINITA x

11 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C 5.11 DEFINICIÓN TASA INTERNA DE RETORNO CALCULO GRÁFICO TASA INTERNA DE RETORNO TASA ÚNICA DE RENTABILIDAD ANÁLISIS BENEFICIO / COSTO (B/C) PUNTO DE EQUILIBRIO ENTRE DOS ALTERNATIVAS ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD - PRECIO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD - DEMANDA xi

12 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Relación de gráficas GRÁFICA NO 1.1 REPRESENTACIÓN DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS GRÁFICA NO 2.1 CAUSACIÓN DEL INTERÉS SIMPLE GRÁFICA NO 2.2 CAUSACIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO GRÁFICA NO 2.3 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO GRÁFICA NO 2.4 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO GRÁFICA NO 2.5 ECUACIÓN DE VALOR GRÁFICA NO 2.6 ACEPTACIONES BANCARIAS Y FINANCIERAS GRÁFICA NO 3.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GRÁFICA NO 3.2 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD GRÁFICA NO 3.3 COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS GRÁFICA NO 3.4 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA GRÁFICA NO 3.5 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA GRÁFICA NO 3.6 ANUALIDAD DIFERIDA GRÁFICA NO 3.7 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO GRÁFICA NO 3.8 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO PERPETUO GRÁFICA NO 3.9 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO GRÁFICA NO 3.10 VALOR PRESENTE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO PERPETUO GRÁFICA NO 4.1 AMORTIZACIÓN PAGOS UNIFORMES Y CUOTAS EXTRAS GRÁFICA NO 4.2 AMORTIZACIÓN PAGOS UNIFORMES Y CUOTAS EXTRAS GRÁFICA NO 4.3 AMORTIZACIÓN MEDIANTE GRADIENTE ESCALONADO GRÁFICA NO 4.4 AMORTIZACIÓN MEDIANTE GRADIENTE ESCALONADO GRÁFICA NO 5.1 FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO GRÁFICA NO 5.2 VALORES NETOS DEL FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO GRÁFICA NO 5.3 RELACIÓN ENTRE EL VPN Y LA TIR GRÁFICA NO 5.4 FLUJO DE CAJA CONVENCIONAL GRÁFICA NO 5.5 FLUJO DE CAJA NO CONVENCIONAL VALORES POSITIVOS GRÁFICA NO 5.6 FLUJO DE CAJA NO CONVENCIONAL MÚLTIPLES VARIACIONES GRÁFICA NO 5.7 ILUSTRACIÓN DEL CÁLCULO DE LA TUR xii

13 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Relación de tablas TABLA NO 1.1 TIPOS DE INTERÉS TABLA NO DESCUENTOS EN CADENA TABLA NO CÁLCULO DEL VALOR FINAL DE UNA INVERSIÓN A INTERÉS COMPUESTO TABLA NO 4.1 TABLA DE AMORTIZACIÓN TABLA NO 4.2 TABLA DE CAPITALIZACIÓN xiii

14 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Presentación De todas las funciones del gerente de proyectos, la gestión financiera es la de mayor importancia, considerando que durante todo el ciclo de vida del proyecto, debe tomar decisiones relacionadas con los recursos financieros. En el aspecto financiero, el gerente debe decidir sobre: la factibilidad financiera: disponibilidad de los recursos monetarios durante el tiempo de ejecución y operación del proyecto; el presupuesto financiero: momento en que se utilizaran los recursos monetarios y la viabilidad de su uso; las proyecciones de ingresos y egresos y su impacto en los beneficios y rendimientos financieros esperados; además, debe evaluar los riesgos determinando el grado de certeza que se espera de las proyecciones bajo el contexto en que se desarrolla el proyecto y su impacto sobre los resultados financieros. Cuál es el valor del proyecto?, Cuáles es la proyección de los ingresos?, Cuáles son los costos y gastos proyectados para su futura operación?, Cuándo es prudente endeudarse para la realización del proyecto?, Cuál es el costo del dinero?, Qué rentabilidad se debe exigir a la inversión?, Cuál es la estructura financiera más apropiada para el proyecto?, Cuál es el riesgo financiero cuando se decide por una alternativa?; son preguntas que debe contestar el gerente para gestionar de manera óptima los proyectos de inversión, asegurando así la generación de valor al inversionista. La matemática financiera es una herramienta que estudia el valor del dinero en el tiempo; la disciplina proporciona modelos matemáticos que permiten simular las operaciones financieras para apoyar al gerente de proyectos en la toma de xiv

15 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C decisiones para seleccionar las mejores formas de inversión y financiación; es decir, una herramienta para la planeación y gestión financiera eficiente y la generación de valor. La generación de valor del inversionista tiene que ver con decisiones de financieras que aseguren rendimientos por encima del costo de los dineros comprometidos con las iniciativas de inversión. El libro Finanzas del Proyecto trata los conceptos financieros básicos y sus aplicaciones más corrientes. Con él se busca facilitar el desarrollo de las competencias de los futuros especialistas en el este campo de la gerencia de proyectos; su estudio desarrollara en los profesionales su capacidad de realizar la simulación matemática de las operaciones financieras para ser utilizada en la planeación, evaluación y gestión de los proyectos o la administración de empresas orientadas bajo un modelo de gerencia de proyectos. El libro está dividido en cinco unidades de aprendizaje. En la primera unidad se propone el estudio de los fundamentos de la disciplina: el valor del dinero en el tiempo, el concepto de equivalencia y el interés simple con sus aplicaciones más significativas. En la unidad dos se estudia el concepto de interés compuesto, además se estudia la diferenciación entre tasa de interés efectiva y tasa nominal, la equivalencia de tasas de interés, la ecuación de valor; y finalmente se analizan algunas operaciones financieras: depósitos a término fijo, inflación, deflación, devaluación, revaluación, tasas combinadas, tasa deflactada y la equivalencia de tasas referenciadas. La unidad tres propone el estudio de las operaciones financieras denominadas anualidades y gradientes; para cada caso, se plantean y analizan los modelos matemáticos para el cálculo de los valores presente y futuro, la tasa de interés, el plazo y las formas de pago. En la unidad cuatro se estudian xv

16 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C las amortización de créditos y la capitalización de ahorros en sus diferentes modalidades. Finalmente en la unidad cinco se tratan los criterios de evaluación de proyectos: valor presente neto (VPN), costo anual equivalente (CAE), tasa interna de retorno (TIR), la tasa única de retorno (TUR) y la relación beneficiocosto (B/C); además se hace una introducción a los estudios de sensibilidad. Con estos contenidos, el texto ofrece a los estudiantes y profesionales, con orientación a la gerencia de proyectos, los fundamentos básicos y herramientas financieras para el ejercicio de su profesión. El texto propone el estudio desde la dimensión práctica, sin dejar de lado el fundamento teórico. A partir de la teoría se realizan aplicaciones orientadas a situaciones empresariales, facilitando a los estudiantes la apropiación de la disciplina para su formación de acuerdo a los requerimientos del medio empresarial. Las lecturas de los capítulos serán la base teórica; pero no sé excluye que el estudiante apoye su aprendizaje en la consulta de la bibliografía y cibergrafía propuesta. En lo práctico, en el libro se resuelven ejemplos y casos para cada una de las temáticas que se tratan; adicionalmente, el texto se acompaña del blog Finanzas del Proyecto, en el cual, para cada unidad de aprendizaje, se proponen ejercicios resueltos y propuestos de diferente nivel de complejidad. El blog, al cual se puede acceder a través de es un complemento del libro donde, aparte de los ejercicios resueltos y propuestos, se pueden consultar lecturas complementarias, presentaciones de cada una de las temáticas y la propuesta de evaluación de cada unidad. xvi

17 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C Para la solución de los ejercicios y casos propuestos, metodológicamente, se propone el siguiente procedimiento básico: a) la Identificación del problema; b) la recopilación y ordenamiento de los datos; c) la escogencia y aplicación de modelo apropiado para el caso; y, finalmente d) la interpretación de los resultados encontrados. Se sugiere a los estudiantes adoptar una técnica y asumir una disciplina de estudio que le permita: apropiar los conceptos teóricos y la realización de las prácticas de acuerdo a los instructivos y recomendaciones. A los docentes se les sugiere realizar evaluaciones integrales que verifiquen la apropiación de los conocimientos y desarrollo de las habilidades individuales; pero también el grado de responsabilidad y compromiso, la capacidad del trabajo en equipo, la creatividad e iniciativa, el compromiso, la tolerancia al cambio, la toma de riesgos calculados y la persistencia en el trabajo; valores propios y necesarios para cualquier profesional que aspire trabajar en gerencia de proyectos. xvii

18 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Interés UNIDAD 1: INTERÉS OBJETIVO Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de conceptuar sobre el valor del dinero en el tiempo, el concepto de equivalencia, calcular operaciones financieras sencillas aplicando interés simple y realizar operaciones financieras y comerciales de descuento. CONTENIDO Introducción 1. Valor del dinero en el tiempo 2. Interés 3. Interés anticipado y descuentos 18 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

19 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Introducción La expresión: No es lo mismo un millón de pesos de hoy, que un millón de pesos dentro de un año, se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera una recompensa por no utilizar su dinero y ponerlo a disposición de otro por un tiempo determinado. No es igual recibir la misma cantidad de dinero hoy que un tiempo después; es decir, no se puede afirmar que dichos valores sean equivalentes. Dos cifras de dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (V p : Valor presente) o recibir otra (V f : Valor futuro) al cabo de un tiempo. El Interés es el monto de dinero que hace equivalente el valor del dinero en el tiempo; dicho de otro modo, permite hacer equivalente dos cifras de dinero en el tiempo. El concepto de interés es de uso amplio; esto ha conducido a que tenga múltiples denominaciones: valor del dinero en el tiempo, valor recibido o entregado por el uso del dinero, utilidad o ganancia que genera un capital, el precio que se paga por el uso del dinero, rendimiento de una inversión, entre otras. En general, las operaciones financieras tienen en común el pago de un interés por el uso del dinero. Además, el precio del dinero (interés), como cualquier otro bien del mercado, sufre altas y bajas, como cualquier otra mercancía, dependiendo de las condiciones del mercado y variables como la inflación, devaluación y revaluación, entre otras. Además, el cálculo del valor del interés dependerá de las condiciones que se pacten en la operación financiera: tipo de interés, ya sea este simple o compuesto, monto de dinero, plazo, forma de pago, y tasa de interés. 19 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

20 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés En esta unidad se tratan los conceptos del valor del dinero en el tiempo y la equivalencia de valor; además, se estudian los modelos matemáticos para el cálculo del interés simple y su aplicación en diferentes casos, incluyendo las operaciones de descuento financieras y comerciales. 1. Valor del dinero en el tiempo Por qué no es lo mismo recibir hoy $ , que esta misma cantidad dentro de un año? Las razones que explican por qué dos cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor en el tiempo; son: La primera tiene que ver con la pérdida del poder adquisitivo del dinero, ocasionado por el incremento generalizado de los precios, fenómeno económico conocido como inflación. En general, con la misma cantidad de dinero hoy se podrán adquirir mayor cantidad de bienes y servicios, que dentro de un año. La segunda tiene que ver con la capacidad que tiene el dinero de generar dinero. El dueño del millón de pesos los puede invertir obtenido rendimientos, lo que le permitirá recibir una mayor cantidad un año más tarde. Esto es lo que se denomina el costo de oportunidad. La tercera tiene que ver con el riesgo: más vale tener asegurado el millón de pesos hoy, y no la promesa de recibir el dinero dentro de un año. Por asumir este riesgo, el poseedor del dinero, en general, espera recibir una recompensa. En resumen, el poseedor del dinero solo estará dispuesto a entregarlo en préstamo, si se le reconoce un monto adicional que le repare la pérdida de valor, 20 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

21 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés más un rendimiento que lo compense por renunciar a su uso y por asumir el riesgo de recibir el capital un tiempo después. 2. Interés Es la cantidad de dinero adicional por la cual un inversionista estará dispuesto a prestar su capital a un tercero. En otras palabras, la cantidad de dinero adicional que hace que dos cantidades de dinero sean equivalentes en el tiempo. De donde: V f = V p + I (1) V f : Valor futuro de una cantidad presente V p : Valor presente I: Interés De acuerdo a lo que se pacte en la operación financiera, el interés se puede calcular de manera simple o compuesta. Bajo el acuerdo de interés simple, la liquidación de interés se realiza período a período, siempre sobre el monto inicial, independiente del momento en que dichos intereses sean pagados. Por su parte, el acuerdo de interés compuesto conduce a que los intereses liquidados en cada período sean sumados al capital inicial, el resultado será la base para la nueva liquidación de intereses y así hasta el momento en que los intereses sean pagados o finalizada la operación; bajo esta modalidad se dice que los intereses se capitalizan. 2.1 Interés Simple Cuando en una operación financiera se pacta interés simple el cálculo de la cantidad que se paga por el uso del dinero, se realiza al final de cada período de 21 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

22 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés tiempo pactado sobre el monto de capital. En este caso, el interés no se capitaliza; es decir, no se suma al monto inicial, para calcular el interés del siguiente período. Además de acordar el tipo de interés en la operación financiera se debe pactar el monto de capital, el plazo de la operación, la forma de pago y la tasa de interés por período de tiempo que se pagara por el dinero. 2.2 Tasa de interés Se define como el valor porcentual que se pacta por el uso del dinero para un período de tiempo determinado. La tasa de interés se aplica al capital, cada período, durante el tiempo que se acuerde como duración de la operación. En los siguientes ejemplos se ilustra la interpretación de las tasas de interés. Ejemplos y Casos 1.1 TASA DE INTERÉS a) 20% anual, significa que se pagará 0,2 pesos por cada peso, por cada año b) 1,5% mensual, significa que se pagará 0,015 pesos por cada peso, por cada mes c) 6% semestral, significa que se pagará 0,06 pesos por cada peso, por cada seis meses d) 4% bimensual, significa que se pagará 0,04 pesos por cada peso, por cada dos meses e) 45% bianual, significa que se pagará 0,45 pesos por cada peso, por cada dos años 2.3 Modelo de interés simple El interés, bajo la modalidad simple, se calcula como el producto del capital inicial (V p ) por la tasa de interés ( ) del período, por el número de períodos de tiempo 22 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

23 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés pactados (n). El número de períodos será el resultado de dividir el plazo pactado por el período de liquidación del interés. De esta forma, matemáticamente el cálculo del Interés se realiza como: De donde: I = V p n (2) V p : Capital o monto principal : Tasa de interés pactada por período n: Plazo pactado expresado en número de períodos de liquidación de intereses 2.4 Clases de interés simple En la práctica no existe un criterio único para el cálculo del interés simple. La aplicación depende de los acuerdos de la operación financiera, del sector económico donde se realice o incluso de las costumbres comerciales. Dependiendo de la base en días que se utilice para el cálculo del interés, se distinguen dos tipos de aplicaciones Interés Ordinario En esta aplicación para el cálculo del interés se toma como base un año de 360 días Interés Exacto Contrario al interés ordinario, en este caso, el interés se calcula tomando como base un año de 365 días, o 366 cuando se trata de un año bisiesto. Para ambas modalidades de cálculo, a su vez, las aplicaciones pueden tomar las variantes que se describen en la tabla Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

24 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Interés Ordinario (Base de Cálculo 360) Tabla No 1.1 Tipos de Interés Interés Bancario (Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el dinero y como base 360 días al año) Interés Comercial (Considera indistintamente los meses de 30 días y como base 360 días al año) Tiempo exacto Meses de 30 días Interés Exacto (Base de Cálculo 365) Interés Racional (Considera los días exactos en los cuales se utiliza el préstamo y como base los días exactos del año) Racional sin Bisiesto (Considera los días exactos en los cuales se utiliza el préstamo y como base 365 días al año -No considera bisiestos-) Tiempo aproximado (Considera meses de 30 días y como base los días exactos del año (No tiene utilidad práctica)) Tiempo exacto Tiempo exacto sin bisiesto Meses de 30 días Ejemplos de cálculo del interés simple Ejemplos y Casos 1.2 INTERÉS SIMPLE BANCARIO Sandra quiere conocer el interés que deberá pagar a una entidad bancaria durante el mes de febrero del año 2016 (bisiesto) por el préstamo de $ , si la entidad financiera para esa época cobrará una tasa de interés del 20% Anual. 24 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

25 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Solución Parámetros El monto o capital es: V p = La tasa de interés es: 20% anual. El período en que se causa el interés es una fracción: 29 días del mes de febrero de los 360 días del año. Considerando que la operación se realizará con un banco, se aplica interés bancario. Cálculos Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula directamente utilizando la fórmula (2), como: I = V p n I = ,2 (29/360) = ,11 Respuesta El Interés que Sandra debe pagar al banco por el préstamo de un millón durante el mes de febrero del 2016 es: $16.111, Interés Simple Comercial Carmen quiere conocer el interés que deberá pagar por la financiación de un TV- LCD, cuyo precio es de $ , con una entidad comercial, por el mes de febrero del año 2016 (bisiesto), si la entidad para esa época cobra una tasa de interés del 20% Anual Solución Parámetros El monto o capital es: V p = La tasa de interés es: 20% anual; es decir, es lo que se cobrará por un año. El período en que se causa el interés es una fracción del año: 30 días del mes de febrero de los 360 días del año. Considerando que la operación se realiza con una entidad comercial, se aplica el interés comercial. Cálculos Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula directamente utilizando la fórmula (2), como: I = V p n 25 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

26 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés I = ,2 ( ) = ,66 Respuesta El Interés que Carmen deberá pagar por la financiación del TV de un millón de pesos durante el mes de febrero del 2016 es: $16.666, INTERÉS SIMPLE RACIONAL Juliana quiere conocer el interés que deberá pagar por un préstamo de un $ durante el mes de febrero del año 2016 (bisiesto), si el prestamista cobra una tasa del 20% Anual y lo calcula con interés racional Solución Parámetros El monto o capital es: Vp = La tasa de interés es: 20% anual; es decir, es lo que se cobrará por un año. El período en que se causa el interés es una fracción del año: 29 días del mes de febrero de los 366 días del año, De acuerdo al enunciado del caso se aplica interés racional. Cálculos Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula directamente utilizando la fórmula (2), como: I = V p n I = ,2 ( ) = 1. 6,99 Respuesta El Interés que Juliana deberá pagar por el préstamo de $ durante el mes de febrero del 2016 es: $15.846, INTERÉS SIMPLE RACIONAL SIN BISIESTO Daniel quiere conocer el interés que deberá cancelar por un préstamo de $ durante el mes de febrero del año 2016 (bisiesto), si el prestamista cobra una tasa del 20% Anual y realiza el cálculo con interés base 365 (tiempo exacto sin bisiesto) Solución 26 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

27 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Parámetros El monto o capital principal es: V p = La tasa de interés es: 20% anual. El período en que se causa el interés es una fracción del año: 28 días del mes de febrero de los 365 días del año. De acuerdo al enunciado del caso, se aplica interés tiempo exacto sin bisiesto. Cálculos Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula directamente utilizando la fórmula (2), como: I = V p n I = ,2 ( 2 36 ) = 1.3 2, Respuesta El Interés que Daniel deberá pagar por el préstamo de $ durante el mes de febrero del 2016 es: $15.342, INTERÉS SIMPLE TIEMPO APROXIMADO Santiago quiere conocer el interés que deberá pagar por un préstamo de $ durante el mes de febrero del año 2016 (bisiesto), si el prestamista le cobra una tasa del 20% Anual y realiza el cálculo con interés exacto-tiempo aproximado Solución Parámetros El monto o capital principal es: V p = La tasa de interés es: 20% anual; es decir, es lo que se cobrará por un año. El período en que se causa el interés es una fracción del año: 30 días del mes de febrero de los 366 días del año. De acuerdo al enunciado del caso se aplica el interés con tiempo aproximado. Cálculos Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula directamente utilizando la fórmula (2), como: I = V p n I = ,2 ( ) = , 27 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

28 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Respuesta El Interés que Santiago deberá cancelar por el préstamo de $ durante el mes de febrero del 2016 es: $16.393, Flujo de Caja: Representación gráfica de las operaciones financieras Una forma fácil de comprender el alcance de las operaciones financieras es representar los movimientos de dinero que se producen en ella en una gráfica de tiempo. En los gráficos de flujo de caja se puede visualizar los movimientos de dinero de las transacciones durante el tiempo que dure la operación. En dicha gráfica, el tiempo se representa por una recta horizontal, la cual para mayor entendimiento se divide en períodos; los egresos de dinero se representan con flechas hacia abajo; y los ingresos, por su parte, se representan con flechas hacia arriba; así como se muestra en la gráfica 1.1 Gráfica No 1.1 Representación de las Operaciones Financieras Ingresos Egresos Horizonte de tiempo 2.6 Capital Final Valor futuro (Vf) Como ya se definió el capital final que recibirá un prestamista o inversionista, o por el contrario, el que deberá pagar el que hace uso del dinero, corresponde al 28 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

29 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés capital inicial más los intereses. Este valor se denomina valor final o valor futuro, y se representa como: V f V f = V p + I Remplazando el valor de I de la fórmula (2) en la ecuación anterior, se obtiene: V f = V p + ( V p n) Factorizando el valor común V p, se obtiene: De donde: V f = V p (1 + n) (3) V p : Capital o monto principal pactado V f : Capital final o valor futuro : Tasa de interés pactada n: Plazo pactado expresado en número de períodos de liquidación de intereses. Ejemplos y Casos 1.7 VALOR FUTURO INTERÉS SIMPLE María Cristina quiere saber cuánto recibirá exactamente, si presta a un amigo la suma de $ entre el 23 de agosto hasta el 27 de octubre del 2015 y aplica una tasa de interés del 35% anual Solución Parámetros El monto o capital es: V p = La tasa de interés es: 35% Anual El tiempo en el cual se causan los intereses son los días entre y el ; es decir, 65 días; que es una fracción del año Considerando que ella quiere conocer el valor exacto entonces se aplica interés racional. Representación gráfica 29 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

30 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés La transacción financiera se ilustra con el siguiente flujo de caja. V f =? 23/08/15 Días = 6 27/10/15 V p = i = 3 % Anual Cálculos Con las anteriores consideraciones, el valor final se calcula directamente utilizando la fórmula (3), como: V f = V p (1 + n) V f = (1 + 0, ) = ,30 Respuesta El monto que recibirá María Cistina al final será de $ ,30; esto significa que obtendrá un interés de $ ,30. ( , ) 2.7 Capital Inicial Valor presente (Vp) Conocido el valor futuro, la tasa de interés y el número de períodos con los cuales se pacta la transacción financiera se puede calcular el capital inicial o valor presente involucrado en la operación financiera. Despejando V p de la fórmula (3), se obtiene: V p = V f (1 + n) ( ) Los símbolos tienen el mismo significado de la fórmula (3) 30 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

31 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Ejemplos y Casos 1.8 VALOR PRESENTE INTERÉS SIMPLE Juan debe pagar $ de matrícula en la universidad el día 13 de diciembre. Cuánto dinero debe depositar el 5 de agosto del mismo año en una cuenta de ahorros que paga un interés del 23% anual? Solución Parámetros El valor final que debe pagar es: V f = La tasa de interés es: 23% Anual. El tiempo en el cual se causan los intereses son los días entre 5 de agosto y el 13 de diciembre; es decir: 130 días; que es una fracción del año Considerando que la operación se realiza con un banco, se aplica interés bancario Representación gráfica La operación financiera se ilustra en el siguiente flujo de caja. 05/08 V p =? Días = 130 i = 23% Anual V f = $ /12 Cálculos Con las anteriores consideraciones, el capital se calcula directamente utilizando la fórmula ( ), como: V p = Vp = V f (1 + n) (1 + (0, )) = 3.9,20 Respuesta El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros el 5 de agosto es: $ ,20 31 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

32 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés 2.8 Tasa de interés ( ) Conocido el valor futuro, el capital inicial o valor presente y el número de períodos se puede calcular la tasa de interés a la cual se pacta la transacción financiera. Despejando de la ecuación (3), se obtiene: = ( V f V p 1) 1 n ( ) Los símbolos tienen el mismo significado de la fórmula (3) Ejemplos y Casos 1.9 TASA DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $ durante el pasado período; él quiere conocer a que tasa de interés comercial dichos excedentes se convertirán en $ en 6 meses Solución Parámetros El valor final es: V f = El capital inicial o valor presente: V p = El tiempo en el cual se causan los intereses son 6 meses, 180 días Se aplica interés comercial. Representación Gráfica La operación financiera se ilustra en el siguiente flujo de caja. 6 Meses V p = i =? V f = $ Cálculos 32 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

33 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Con las anteriores consideraciones, la tasa de interés se calcula directamente utilizando la fórmula ( ), como: = ( V f V p 1) 1 n = ( ) = 0,3333 = 33,33% Respuesta Juan deberá colocar su dinero a un interés del 33,33% anual 2.9 Numero de períodos ( ) Conocido el valor futuro, el capital inicial o valor presente y la tasa de interés se puede calcular el número de períodos a la cual está pactada la transacción financiera. Despejando n de la ecuación (3), se obtiene: n = ( V f V p 1) 1 (6) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (3) Ejemplos y Casos 1.10 NÚMERO DE PERÍODOS- INTERÉS SIMPLE Rubén dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $ durante el pasado período; él quiere conocer durante cuántos días debe colocar este dinero para convertir estos excedentes en $ , si la entidad bancaria le reconoce un interés del 27% anual. Solución Parámetros El valor final es: V f = Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

34 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés El capital inicial o valor presente: V p = Tasa de interés nominal anual es: =27% Anual Se aplica interés bancario. Representación Gráfica La operación financiera se ilustra el siguiente flujo de caja. V p = n =? i = 2 % Anual V f = $ Cálculos Con las anteriores consideraciones, el número de períodos se calcula directamente utilizando la fórmula (6), como: n = ( V f V p 1) 1 n = ( ) 1 0,2 = 1, 2 a os = 666,66 ías Respuesta Rubén de colocar sus excedentes durante 666,66 días 3. Interés anticipado y descuentos En algunas operaciones financieras es común que el cálculo del interés se haga de manera anticipada; es decir, causar el interés al principio de la operación; en este caso, se aplica la tasa de interés anticipada; la cual se representa con el símbolo (i a ). Entre otras, las operaciones de descuento son transacciones donde se cobra el interés de manera anticipado. Este tipo de operaciones consiste en hacer efectivo 34 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

35 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés de manera anticipada títulos valores que respaldan pagos futuros. Por ejemplo, cuando un comerciante vende en el mercado financiero pagarés o letras de cambio que respaldan las deudas de sus ventas a crédito; se dice que está realizando una operación de descuento. En este caso la entidad financiera donde se realiza el descuento cobra de manera anticipada un interés a cambio de poner a disposición del comerciante el dinero en efectivo. La tasa de interés a la cual se descuenta los títulos valores se denomina tasa de descuento y se representa con la letra d Otra operación de descuento es aquella que se hace cuando los establecimientos comerciales conceden descuentos para motivar la compra, y el pago cumplido o anticipado de sus clientes. En estos casos el descuento se calcula utilizando, igualmente, la tasa de descuento, que se representa con la letra d. En los siguientes apartados se estudian estos dos tipos de operación. 3.1 Operaciones de Descuento El descuento de títulos valores que respaldan pagos futuros son operaciones comunes en los mercados financieros. La operación consiste en volver líquido ante un tercero, usualmente una entidad financiera, un título valor que respalda un pago futuro. El descuento ( ) se calcula sobre el valor final o valor nominal del título valor V f, aplicando la tasa de descuento ( ) acordada en la operación y considerando el tiempo faltante para la maduración del título. Teniendo en cuenta la anterior definición, matemáticamente el descuento se calcula como: = V f n ( ) 35 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

36 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés De donde: : Descuento V f : Valor final o nominal del título valor : Tasa de descuento n: Número de períodos Por su parte, el Valor Líquido (V ) o valor de la transacción se calcula como el valor nominal menos el descuento: V = V f Remplazando el valor de la ecuación ( ), en la expresión anterior, se obtiene: V = V f (V f n) Factorizando V f, V = V f (1 n) ( ) Los demás símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (7) Despejando V f de la fórmula (8) se obtiene el valor nominal del título valor, cuando se tiene la información de los demás parámetros V f = V (1 n) (9) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (7) Ejemplos y Casos 1.11 OPERACIONES DE DESCUENTO 1 El 22 de abril del 2010 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $ para surtir su almacén; el pago de esta mercancía se realizará 3 meses 36 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

37 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés después (22 de julio) y se respalda con una letra de cambio por valor nominal de $ El 25 de junio el proveedor, por problemas de liquidez, ofrece en venta la letra de cambio al Banco Medellín, el cual aplica una tasa de descuento del 27% Anual. Cuánto recibirá el proveedor en esta operación? Solución Parámetros El valor final es: V f = El período en que se causa el descuento esta entre el 25/06 y 22/07, es decir: 27 días. Tasa de descuento: = 2 % Anual Se aplica interés bancario. Representación Gráfica La operación financiera se ilustra en el siguiente flujo de caja. 22/0 /10 V t =? d = 2 % Anual 2 /06 V f = /0 Cálculos Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula utilizando directamente la fórmula ( ), como se muestra a continuación: V = V f (1 n) V = (1 0, ) = Respuesta El proveedor recibirá del Banco Medellín el 25 de junio un valor de $ , a cambio del título que tiene un valor nominal de $ OPERACIONES DE DESCUENTO 2 37 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

38 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Cuál deberá ser el valor nominal de una letra de cambio que un comerciante descuenta en el Banco Medellín, cincuenta días antes de su vencimiento a una tasa del 25% Anual, si el comerciante recibe un valor de $ al momento del descuento? Solución Parámetros El valor liquido es: V = El tiempo en que se causa el descuento es: 50 días. Tasa de descuento: = 2 % anual Interés bancario. Representación Gráfica La operación financiera se ilustra en el siguiente flujo de caja. n = 0 días V t = d = 2 % V f =? Cálculos Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal se calcula utilizando directamente la fórmula (9), así como se muestra a continuación: V f = V f = V (1 n) (1 0, ) = ,9 Respuesta El valor nominal de la letra de cambio debería ser de $ ,9 3.2 Tasa de interés real en una operación de descuento La tasa de descuento se aplica al valor final de la operación, a diferencia de la tasa de interés vencido que se aplica al capital inicial; en consecuencia, es lógico, que 38 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

39 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés para un mismo valor, el interés sea diferente. Para calcular la tasa de interés efectiva que se cobra en una operación de descuento se debe aplicar la fórmula de interés ( ), al resultado final de la operación de descuento. El cálculo se ilustra a través del siguiente ejemplo: Ejemplos y Casos 1.13 TASA EFECTIVA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $ , 75 días antes del vencimiento al 26%. Cuál es la tasa de interés efectiva Anual que cobra el banco por esta operación? Solución Parámetros El valor nominal es: V f = El tiempo en que se causa el descuento es: Tasa de descuento: = 26% anual Interés bancario. Representación Gráfica Lo primero es calcular el valor líquido de la operación de descuento. La situación se ilustra gráficamente a continuación: ías. n = días V t =? d = 26% V f = Cálculos Con las anteriores consideraciones, el Valor líquido se calcula aplicando directamente la fórmula ( ), como se muestra a continuación: V = V f (1 n) V = (1 0, ) = Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

40 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés De esta forma el Banco debe pagar $ a cambio de recibir $ días más tarde; con lo cual la tasa efectiva que está recibiendo por esta operación se puede calcular utilizando la fórmula ( ) n = días V t = i =? V f = Aplicando la fórmula ( ), se obtiene: = ( V f V p 1) 1 n = ( ) = 0,2 = 2, % Respuesta La tasa de interés efectiva de la operación es: 27,48% anual, nótese que dicha tasa es superior a la tasa de descuento 3.3 Descuentos en Cadena En las operaciones comerciales es común ofrecer descuentos con el fin de motivar las compras y el pronto pago cuando se realizan ventas a crédito. Lo normal es encontrar que los comerciantes ofrecen más de un descuento simultáneamente, todos ellos aplicables a una misma factura. Los descuentos más comunes en el mercado son: Descuento por volumen Descuento por pronto pago 40 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

41 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés Descuento por embalaje Descuento por temporada Descuento por fidelidad Cuando se aplican descuentos simultáneamente a una misma factura se aplica un Descuento en Cadena. En la tabla No 1.2 se muestra la forma de calcular, el valor del descuento y el valor final de la factura, cuando se aplican varios descuentos de manera simultánea a una misma factura. Tabla No Descuentos en Cadena Valor factura antes del Tasa Valor descuento (D) Valor factura después del descuento Descuento descuento (A f) A d 1 D 1 = Ad 1 A 1 = A - Ad 1 = A(1-d 1 ) A(1-d 1 ) d 2 D 2 = A(1-d 1 ) d 2 A 2 = A(1-d 1 )-A(1-d 1 ) d 2 = A(1- d 1 )(1-d 2 ) A(1-d 1 )(1-d 2 ) d 3 D 3 = A(1-d 1 )(1-d 2 ) d 3 A 3 =(A(1-d 1 )(1-d 2 )-A(1-d 1 )(1-d 2 )d 3 ) = A(1-d 1 )(1-d 2 )(1-d 3 ) A(1-d 1 )(1-d 2 ) (1-d n-1 ) d n D n = A(1-d 1 )(1-d 2 ) (1-d n-1 ) d n A n = A(1-d 1 )(1-d 2 )(1-d 3 ) (1-d n ) Fuente: BACA CURREA, Guillermo. (2002). Ingeniería Económica. Bogotá: Editorial Fondo Educativo Panamericano De donde: A: Valor inicial de la factura : Tasa de descuento n : Descuento total después de n descuentos A : Valor de la factura final después de n descuentos De la tabla, se puede establecer que el descuento total se calcula como: = A[1 (1 )(1 ) (1 )(1 )] (10) El valor de la factura final, se calcula como: 41 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

42 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés A f = A(1 )(1 ) (1 ) (11) Finalmente la tasa de descuento promedio se obtiene de dividir el valor final de la factura con el valor inicial de la misma, de los cual resulta: = 1 (1 )(1 ) (1 ) (12) Ejemplos y Casos 1.14 DESCUENTOS EN CADENA Un comerciante quiere conocer la tasa de descuento promedio que se le otorga, el descuento total y el valor final de la factura, si realiza compras de mercancía por $ , a un fabricante que le concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 15%; por compra al por mayor 20%; por fidelidad 3%; y por temporada: 5% Solución Parámetros El valor inicial de la factura es: A = Descuento por pronto pago: d = 1 % Descuento por compra al por mayor: d = 20% Descuento por fidelidad: d 3 = 3% Descuento por temporada: d 4 = % Cálculos Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones el valor total del descuento se calcula con la fórmula (10): = A[1 (1 )(1 ) (1 )(1 )] = [1 (1 0,1 )(1 0,20)(1 0,03)(1 0,0 )] = El valor de la factura final, se calcula con la fórmula (11), como: A f = A(1 )(1 ) (1 ) A f = (1 0,1 )(1 0,20)(1 0,03)(1 0,0 ) = Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

43 Unidad de Aprendizaje No 1 - Interés La tasa promedio de descuento, se calcula con la fórmula (12), como: = 1 (1 )(1 ) (1 ) = 1 (1 0,1 )(1 0,20)(1 0,03)(1 0,0 ) = 0,3 33 = 3,33% Respuesta El comerciante obtendrá un descuento total de $ , el valor final de la factura será de $ y la tasa promedio de descuento recibida es 37,33% 43 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

44 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Interés Compuesto UNIDAD 2: INTERÉS COMPUESTO OBJETIVO Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de conceptuar sobre el interés compuesto, deducir los modelos matemáticos que lo soportan y aplicarlos en operaciones financieras de ocurrencia común. CONTENIDO Introducción 1. Concepto de interés compuesto 2. Modelos de interés compuesto 3. Tasas de interés 4. Equivalencia entre tasas de interés 5. Ecuación de valor 6. Operaciones financieras con aplicaciones de interés compuesto 44 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

45 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Introducción El cálculo del interés, como se mencionó, depende de las condiciones que se pacten en la operación financiera. En la unidad 1 se estudió el cálculo del Interés para cuando se acuerda el pago de interés simple; en esta unidad se estudiaran las operaciones con acuerdo de pago de interés compuesto. Diferente a lo visto hasta el momento, en las operaciones financieras donde se acuerda el pago de interés compuesto, para cada período de liquidación convenido los intereses calculados se agregan al capital, generando así un nuevo monto de capital base para el cálculo de los intereses del siguiente período; en estos casos, se dice que hay una capitalización de los intereses. Teniendo en cuenta que en la vida cotidiana es común el uso del interés compuesto, los modelos matemáticos para el cálculo del Interés bajo esta modalidad, son una herramienta esencial para el cálculo y análisis de las operaciones financieras. En la unidad se desarrollan los modelos matemáticos para el cálculo del Interés y demás variables involucradas. De otro lado, considerando que las condiciones acordadas en las operaciones financieras difieren en plazo, período de liquidación, forma de pago, etc., es necesario estudiar modelos que permitan determinar la equivalencia entre tasas de interés. En la unidad se estudiaran las equivalencias entre tasas de interés anticipadas y vencidas, tasas nominales y efectivas. Finalmente en la unidad se analizan algunas operaciones financieras que de manera implícita o explícitamente tienen acordadas la aplicación de interés compuesto: inflación, deflación, devaluación, revaluación, depósitos a término definido, aceptaciones bancarias, entre otras. 45 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

46 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 1. Concepto de interés compuesto Bajo el modelo de interés simple, si se invierte un capital de $100 a una tasa de interés del 10% trimestral durante un año, la liquidación de los intereses será: I = 100 0,1 = 0 Al cabo de un año el inversionista recibirá $140; $100 correspondiente al capital y $40 a los intereses. La situación de la liquidación de intereses bajo la modalidad de interés simple se ilustra en la gráfica No 2.1 Gráfica No 2.1 Causación del Interés Simple $100 $10 $10 $10 $10 10% 10% 10% 10% $100 De otro lado, si la inversión se hace a interés compuesto entonces al final del primer trimestre se liquidan los intereses (100 0,1 = 10) y estos se acumulan al capital para obtener un monto de $110 al cabo del primer período; y al final del segundo período la liquidación de los intereses se hará sobre este monto: 110 0,1 = 11 y seguidamente como en el período anterior estos se acumulan de nuevo al capital para obtener un nuevo monto de $121; y así sucesivamente 46 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

47 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto hasta obtener en el cuarto período $146,41. En este caso, al cabo de un año el inversionista recibirá $146,41; $100 correspondiente al capital y $46,41 a los intereses. La situación de la liquidación de intereses bajo la modalidad de interés compuesto se ilustra en la gráfica No 2.2. Gráfica No 2.2 Causación del Interés Compuesto $146, 41 $133, 1 $121 $110 10% 10% 10% 10% $100 Para estas operaciones el intervalo en el cual se capitaliza el interés recibe el nombre de período de capitalización; y la frecuencia de capitalización el número de veces por año en que estas se realizan. Similar al caso del interés simple, las variables involucradas en las operaciones financieras pactadas con interés compuesto son: Valor presente (V p ): capital o cantidad de dinero que se invierte o se presta a la fecha presente a una tasa de interés, durante n períodos. 47 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

48 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tasa de interés ( ): tasa de interés efectiva que se aplica en cada período, durante el tiempo que dura la operación. Períodos (n): períodos de conversión o liquidación de intereses durante los cuales se invierte o se presta el capital (V p ). Valor futuro (V f ): cantidad de dinero de la cual se dispondrá al final de la operación; es equivale a un pago único futuro en n períodos a una tasa de interés. 2. Modelos de interés compuesto Para determinar los modelos de interés compuesto se consideran las condiciones acordadas en la operación financiera para las variables; capital inicial (V p ), tasa de interés ( ), número de períodos (n), plazo, y valor equivalente final (V f ). Además, la consideración de que los intereses son capitalizados al final de los períodos de liquidación. Para deducir los modelos matemáticos, se realizan los cálculos de Interés y valor futuro para cada período considerando las variables anteriores. En la tabla No 2.1, para el período 1, el interés se calcula como (V p ) el cual se suma al capital inicial (V p ) para obtener el capital al final del período 1; este capital es el valor inicial del período 2: V p (1 + ), para este período el interés se calculara como V p (1 + ), el cual deberá sumarse al capital inicial de ese período para obtener así el capital al final del período 2 o capital inicial del período 3, si se decide continuar con la inversión; este valor será: V f = V p (1 + ). Si los cálculos se continúan hasta el período n, se obtiene el valor para este período, así como se ilustra en la tabla. 48 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

49 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tabla No Cálculo del valor final de una inversión acordada a interés compuesto Período Capital Inicial Interés Capital Final 1 V p V p V f = V p + V p V f = V p (1 + ) 2 V p (1 + ) V p (1 + ) V f = V p (1 + ) + V p (1 + ) V f = V p (1 + ) 3 V p (1 + ) V p (1 + ) V f3 = V p (1 + ) + V p (1 + ) V f3 = V p (1 + ) n V p (1 + ) V p (1 + ) V f = V p (1 + ) Fuente: Adaptado de, BACA CURREA, Guillermo. (2002). Ingeniería Económica. Bogotá: Editorial Fondo Educativo Panamericano El modelo deducido en la tabla No 2.1, da cuenta del valor futuro (V f ) de una inversión en función del capital inicial (V p ) cuando los intereses causados son capitalizados durante (n) períodos a una tasa de interés ( ) De donde: V f = V p (1 + ) (13) V f : Valor futuro del capital en la operación V p : Valor presente del capital en la operación : Tasa de interés efectiva por período n: Numero de períodos de liquidación o conversión pactados en la operación 49 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

50 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto El término (1 + ) es el factor que convierte un pago único presente (V p ) en un pago único futuro (V f ) equivalente, a una tasa de interés ( ), durante (n) períodos. De la fórmula (13) podemos deducir otros modelos que dan razón de variables como el Interés, valor presente, tasa de interés y número de períodos cuando se conocen los demás parámetros. 2.1 Valor futuro (Vf) Dados el valor presente, tasa de interés y los períodos de conversión, el valor futuro de la inversión o pago se calcula directamente aplicando la fórmula (13). Ejemplos y Casos 2.1 INTERÉS COMPUESTO VALOR FUTURO Cuánto recibirá finalmente una persona que invierte $2 millones de pesos en un depósito a término fijo por tres años, si se le reconoce una tasa de interés del 6,5% semestral? Solución Parámetros Valor de la inversión: V p = Tasa de interés: =6,5% semestral Pazo: 3 años Períodos de liquidación de intereses: semestral Representación gráfica En la siguiente Gráfica se ilustra la operación financiera. Períodos 6 semestres i = 6, % semestral V f =? V p = Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

51 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Cálculos Para determinar el valor final que recibirá la persona se aplica directamente la fórmula (13), utilizando los períodos de liquidación semestrales, considerando que la tasa de interés efectiva es semestral: V f = V p (1 + ) V f = (1 + 0,06 ) = , 9 Respuesta El valor que finalmente recibirá la persona al cabo de los tres años es $ ,59 Como se puede concluir de la solución del ejemplo anterior el período de conversión o liquidación de intereses debe coincidir con el período de aplicación de la tasa de interés. Para el caso, ya que la tasa aplica para períodos semestrales, el número de períodos debe, igualmente, expresarse en forma semestral. 2.2 Interés (I) El interés causado (I) en una operación financiera se calcula como el valor final (V f ) menos el valor inicial (V p ) o capital. A partir de esta definición y la fórmula (13) a continuación se deduce la fórmula para el cálculo del interés (I). I = V f V p Remplazando V f de la fórmula (13) en la ecuación anterior, se obtiene: I = V p (1 + ) V p I = V p [(1 + ) 1] (1 ) Los demás símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (13) 51 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

52 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Ejemplos y Casos 2.2 INTERÉS COMPUESTO INTERÉS El municipio de Medellín acuerda con el Banco Mundial un crédito por $ USD el cual se destinara al saneamiento ambiental de la ciudad. Si para el préstamo se pactan las siguientes condiciones: tasa de interés del 6% anual, un plazo de 25 meses y pagos semestrales iguales Qué interés finalmente deberá pagar la ciudad? Solución Parámetros Valor del préstamo: V p = USD $ Tasa de interés pagare: : i=6,0% anual Pazo: 25 meses Períodos de conversión o liquidación de intereses: anual Cálculos Para determinar el Interés, lo primero que debe hacerse es calcular el Valor futuro del Capital lo cual se hace utilizando la fórmula (13); con este valor el Interés se calcula como la diferencia entre este valor y el valor inicial: I = V f V p. Otra forma es utilizando de manera directa la fórmula (1 ) I = V p [(1 + ) 1] I = [(1 + 0,06) 1] = U $103.2,3 Respuesta El interés que finalmente pagara el municipio es U $103.2,3 2.3 Valor presente (Vp) Dados el valor futuro, la tasa de interés y los períodos de conversión, el valor presente o capital involucrado en la operación financiera se puede calcular a partir de la fórmula (13) V f = V p (1 + ) 52 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

53 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Despejando el valor de V p, se obtiene: V p = V f (1 + ) = V f (1 + ) (1 ) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (13) Ejemplos y Casos 2.3 INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE Cuánto debe ahorrar un padre de familia el 1 de septiembre para pagar la matrícula de la universidad de su hijo el 31 de enero del año siguiente; si el costo de la matrícula es de $ y la tasa de interés que le reconoce la entidad financiera es el 2% mensual? Solución Parámetros Valor final: V f = Tasa de interés pagare: : =2% mensual Pazo: entre el 1 de septiembre y 31 de enero: 5 meses Períodos de liquidación: meses Representación Gráfica En la siguiente Gráfica se representa la operación, el padre debe ahorrar X cantidad de dinero para dentro de 5 meses obtener $ Períodos meses V f = i = 2% mensual V p = X Cálculos 53 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

54 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Para determinar el valor que debe ahorrar el padre se aplica directamente la fórmula (1 ), utilizando los períodos de conversión mensuales, en consideración a que la tasa de interés es una tasa mensual V p = V f (1 + ) V p = (1 + 0,02) = ,2 Respuesta El valor que debe ahorrar el padre el 1 de septiembre es $ , Número de períodos (n) Conocidos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés, los períodos de conversión se hallan despejando n de la fórmula (13) V f = V p (1 + ) Al pasar a dividir el término que multiplica la incógnita, se obtiene: V f V p = (1 + ) Aplicando la función logaritmo en ambos lados de la ecuación: log ( V f V p ) = log(1 + ) Aplicando las propiedades de la función Logaritmo: Despejando n, se obtiene: log ( V f V p ) = n log(1 + ) 54 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

55 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto log ( V f V ) p n = log(1 + ) (16) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (13) Ejemplos y Casos 2.4 INTERÉS COMPUESTO NÚMERO DE PERÍODOS Un inversionista quiere conocer en cuanto tiempo se duplicara su inversión si acuerda una operación con una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1.5% mensual. Solución Parámetros Valor inicial de la inversión: V p = X Valor final recibido: V f = 2X Tasa de interés: : =1,5% mensual Período de conversión o liquidación de intereses: mes Representación Gráfica En la siguiente gráfica se ilustra la operación financiera: Períodos? i = 1, % mensual V p = X n V f = 2X Cálculos Para determinar el número de períodos en los cuales se duplica la inversión se aplica directamente la fórmula (16) log ( V f ) V p n = log(1 + ) 55 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

56 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto n = log ( 2 ) log(1 + 0,01 ) = log(2) log(1,01 ) = 6, Respuesta Para que el capital se duplique la inversión se deberá mantener mínimo 47 meses. El resultado se expresa en meses considerando que el período de liquidación de intereses es el mes. 2.5 Tasa de interés (i) Conocidos el valor presente, el valor futuro y el número de períodos se puede determinar la tasa de interés a partir de la fórmula (13), despejando. V f = V p (1 + ) Pasando a dividir el término que multiplica la incógnita, se obtiene: V f V p = (1 + ) Aplicando raíz n en ambos lados de la ecuación: V f V p = (1 + ) Pasando a restar el término que está sumado a la incógnita, se obtiene: = ( V f V p ) 1 (1 ) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (13) 56 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

57 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Ejemplos y Casos 2.5 INTERÉS COMPUESTO TASA DE INTERÉS Si una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años, tiene hoy un valor de $70 Millones. Cuál fue la rentabilidad de la inversión? Exprésela en interés mensual, trimestral, semestral y anual. Solución Parámetros Valor inicial de la inversión: V p = Valor final de la inversión: V f = Plazo de la inversión: 15 años Períodos de conversión: mes, trimestre, semestre y año. Representación Gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: Durante 15 años la inversión inicial de se ha convertido en , se quiere conocer la tasa de interés expresada en diferentes períodos de capitalización: mes, trimestre, semestre y año Períodos 1 a os i =? V p = V f = Cálculos Para determinarla tasa de interés se aplica directamente la fórmula (1 ), considerando los períodos de conversión correspondientes. a) Tasa de Interés anual En este caso n = 1, considerando que se quiere conocer la tasa anual. 57 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

58 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto = ( V f V p ) 1 b) Tasa de Interés semestral = ( ) 1 = 0,26 = 26, % anual En este caso n = 30, considerando que se quiere conocer la tasa semestral. = ( )3 1 = 0,12 = 12, % se estral c) Tasa de Interés trimestral En este caso n = 60, considerando que se quiere conocer la tasa trimestral. d) Tasa de Interés mensual = ( ) 1 = 0,0610 = 6,10% tr estral En este caso n = 1 0, considerando que se quiere conocer la tasa mensual. = ( ) 1 = 0,0199 = 1,99% ensual Respuesta La rentabilidad de la inversión es: 26, % anual o 12, % se estral o 6,10% tr estral o 1,99% ensual 3. Tasas de Interés 3.1 Tasa Nominal Es una tasa de interés de referencia que indica el número de capitalizaciones que se realizan durante un período de tiempo, usualmente un año. La tasa nominal se 58 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

59 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto representa por la letra, seguida por la letra N guion el período de capitalización como una letra minúscula, así como se indica en el ejemplo 2.6. Por tratarse de una tasa de referencia cuando se requieran hacer cálculos, éstos se deben hacer con la tasa efectiva equivalente correspondiente. En el apartado 3.3 se estudia la conversión de tasas nominales en efectivas y viceversa. Ejemplos y Casos 2.6 TASA DE INTERÉS NOMINAL a) j = 10% N-a. Tasa nominal del 10%, capitalizable anualmente, una por año b) j = 25% N-t. Tasa nominal del 25%, capitalizable trimestralmente, cuatro por año c) j = 30% N-s. Tasa nominal del 30%, capitalizable semestralmente, dos por año d) j = 28% N-m. Tasa nominal del 28% capitalizable mensualmente, doce por año e) j = 55% N-d. Tasa nominal del 55% capitalizable diariamente, trecientos sesenta por año 3.2 Tasa Efectiva La tasa efectiva, a diferencia de la tasa nominal, indica la tasa de interés que efectivamente se está pagando por un capital, para el período de conversión o liquidación pactado. Como la capitalización del interés se produce cierta cantidad de veces al año; la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal. La tasa nominal comúnmente esta referenciada a un período de un año, e indica varias liquidaciones de intereses en dicho plazo; por su parte, la tasa efectiva mide el rendimiento efectivo en el período en que se realiza el pago o cobro. La tasa efectiva se representa por la letra, seguida por la letra E (efectiva) y una letra mayúscula que representa el período de liquidación o conversión. 59 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

60 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Ejemplos y Casos 2.7 TASA DE INTERÉS EFECTIVA a) = 10% EM. Indica una tasa del 10% efectiva mensual. b) = 25% ET. Indica una tasa del 25% efectiva trimestral. c) = 30% ES. Indica una tasa del 30% efectiva semestral. d) = 28% EA. Indica una tasa del 28% efectiva anual. e) = 0,5% ED. Indica una tasa del 0,5% efectiva diaria. 3.3 Relación entre Tasa Efectiva y Nominal La tasa nominal es igual a la tasa efectiva multiplicada por el número de períodos de capitalización en un año. De donde: = (1 ) : Tasa de Interés Nominal : Tasa de Interés efectiva : Es la frecuencia de conversión anual; número de veces que se capitalizan los intereses por año. Nótese que sí la frecuencia de conversión es igual a uno, la tasa efectiva es igual a la tasa Nominal. Ejemplos y Casos 2.8 RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL 1 José quiere conocer cuál es la tasa efectiva anual que debe pagar por un crédito que el banco le oferta con una tasa nominal del 42%. Solución 60 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

61 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Parámetros Tasa Nominal: = 2% N Cálculos Cuando la Tasa Nominal no indica el período de capitalización, se supone que es anual. Para hallar la tasa efectiva, se aplica la fórmula (1 ), despejando el valor de = = = 0, 2 1 = 2% Respuesta Para este caso la tasa de interés nominal es igual a la tasa efectiva anual. 2.9 RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL 2 Cuál será la tasa efectiva que se debe pagar por un crédito que se pacta a una tasa Nominal del 36% N_s? Solución Parámetros Tasa Nominal: = 36% N_s Cálculos En este caso la frecuencia de capitalización es semestral (dos por año). Para hallar la tasa efectiva, se aplica la fórmula (1 ), despejando = = = 0,36 2 = 0,1 = 1 % E Respuesta 18% ES, es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal del 36% N_s 2.10 RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL 3 Cuál será la tasa Nominal pactada en un crédito, para el cual se acuerda una tasa efectiva trimestral del 8%? 61 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

62 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Solución Parámetros Tasa Efectiva: = % ET Cálculos En este caso la frecuencia de capitalización es cuatro (cuatro trimestres por año). Para hallar la tasa nominal, se aplica directamente la fórmula (1 ) = = 0,0 = 0,32 = 32% = 32% N_t Respuesta 32% N_t es la tasa Nominal Trimestral equivalente al 8% ET 2.11 RELACIÓN ENTRE TASA EFECTIVA Y NOMINAL 4 Cuál será la tasa Nominal pactada en un crédito para el cual se acuerda una tasa efectiva mensual del 2,5%? Solución Parámetros Tasa efectiva: = 2, % EM Cálculos En este caso la frecuencia de capitalización es mensual (doce veces por año). Para hallar la tasa nominal, se aplica directamente la fórmula (1 ) = = 0,02 12 = 0,3 = 30% = 30% N_ Respuesta 30% N_ es la tasa Nominal Mensual equivalente al 2,5% EM 3.4 Tasa de Interés Anticipado El concepto de interés anticipado, definido en la unidad anterior, es igualmente válido cuando se trabaja con interés compuesto. En contraste con el interés 62 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

63 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto (vencido), el interés anticipado se denomina. En general, cuando no hay una referencia explícita, se supone que la tasa de interés será siempre vencida. 4. Equivalencia entre tasas de interés 4.1 Equivalencia entre tasas efectivas. Dos o más tasas efectivas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés al final de cualquier período. En el ejemplo 2.5 se comprobó que $2 millones eran equivalentes a $70 millones en 15 años a diferentes tasa de interés: 26,74% EA, 12,58% ES, 6,10% ET, o 1,99% EM; de esta forma, de acuerdo a la definición se puede afirmar que estas tasas de interés son equivalentes. Modelo matemático Partiendo de la definición se deduce el modelo matemático, como sigue: para un valor presente dado V p se deben hallar dos tasas de interés efectivas, que hagan que el valor futuro V f sea igual. Aplicando la fórmula (13), para una tasa de interés efectiva, se obtiene: V f = V p (1 + ) Igualmente para la tasa de interés efectiva, se obtiene V f = V p (1 + ) Considerando que el Valor futuro debe ser igual en ambos casos, entonces podemos igualar ambas ecuaciones: 63 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

64 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto V p (1 + ) = V p (1 + ) Simplificando la ecuación anterior, se obtiene: (1 + ) = (1 + ) Para despejar en función, se aplica la raíz n en ambos lados de la ecuación, (1 + ) = (1 + ) Aplicando las propiedades de los radicales, se transforma la ecuación anterior en: (1 + ) = (1 + ) Despejando, en la ecuación anterior, se obtiene: = (1 + ) 1 (19) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (13) Ejemplos y Casos 2.12 RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS Un empresario necesita decidir entre tres ofertas de crédito que recibe del sector financiero: la primera cobra una tasa del 12,58% ES; la segunda, una tasa del 6,10% ET; y finalmente la tercera una tasa del 1,99% EM. Aunque conoce poco de finanzas, sabe que no puede comparar estas tres tasas de interés y le pide a su jefe financiero que le halle la tasa efectiva anual equivalente de las tasas anteriores, para poder la decisión. Solución Parámetros Alternativa 1: = 12, % E Alternativa 2: = 6,10% ET Alternativa 3: = 1,99% EM 64 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

65 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Cálculos Para hallar la tasa equivalente se aplica directamente la fórmula (19) = (1 + ) 1 a) Tasa efectiva anual equivalente de 12,58% ES; en este caso es 12,58% ES, n es 2 y n es 1. = (1 + 0,12 ) 1 = 0,26 = 26, % EA Respuesta: La tasa de interés efectiva anual equivalente de 12,58% ES, es: 26,74% EA b) Tasa efectiva anual equivalente de 6,1% ET; en este caso es 6,1% ET, n es 4 y n es 1. = (1 + 0,0610) 4 1 = 0,26 2 = 26, 2% EA Respuesta: La tasa de interés efectiva anual equivalente de 6,1% ET, es: 26,72% EA c) Tasa efectiva anual equivalente de 1,99% EM; en este caso es 1,99% ES, n es 12 y n es 1. = (1 + 0,0199) 1 = 0,266 = 26,6 % EA Respuesta: La tasa de interés efectiva anual equivalente de 1,99% EM, es: 26,67% EA Respuesta El empresario se puede decidir por la tercera opción ya que es la de menor tasa efectiva anual. 4.2 Equivalencia entre tasas vencidas y tasas anticipadas A continuación se deduce la fórmula matemática que relaciona las tasas de interés vencidas y anticipadas. Suponiendo un período unitario, de la fórmula (2), se puede determinar que la tasa de interés es igual a: 65 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

66 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto = I V p (a) De otro lado, de la fórmula ( ), se conoce que el descuento o interés anticipado para un período unitario en una operación de descuento, se puede expresar como: = I = V f ( ) También se conoce, de la fórmula ( ), que el valor líquido o valor presente en una operación de descuento para un período unitario, se puede expresar como: V p = V = V f (1 ) ( ) Remplazando ( ) y ( ) en (a), se obtiene: = V f V f (1 ) = (1 ) Simplificando y considerando que la tasa de descuento es una tasa anticipada entonces se puede escribir la ecuación, como: = (1 ) (20) Despejando en función de entonces se obtiene: = (1 + ) (21) 66 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

67 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tasa vencida equivalente a una tasa anticipada Para hallar la tasa vencida equivalente de una tasa anticipada, se procede como sigue: La tasa anticipada se convierte en una tasa vencida, utilizando la fórmula (20). La tasa vencida efectiva hallada en el paso anterior, en caso de ser necesario, se convierte en una tasa vencida efectiva para otro período utilizando el modelo (19). Ejemplos y Casos 2.13 RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS 1 Un comerciante quiere conocer la tasa efectiva semestral equivalente que una entidad financiera le está cobrando por un crédito que se oferta al 5%EM a. Solución Parámetros Tasa de Interés: 5%EM a Cálculos Paso 1: La tasa anticipada se convierte en una tasa vencida, utilizando la fórmula (20) = (1 ) = 0,0 = 0,0 26 =,26% EM (1 0,0 ) Paso 2: para hallar la tasa efectiva semestral equivalente se utiliza la fórmula (19). En este caso es 5,26% EM, n es 12 y n es 2. = (1 + ) 1 = (1 + 0,0 26) 1 = 0,3601 = 36,01% E Respuesta El comerciante está pagando una tasa de interés del 36,01% E. 67 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

68 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tasa anticipada equivalente a una tasa vencida Para hallar la tasa anticipada equivalente de una tasa vencida, se procede como sigue: En caso de ser necesario la tasa vencida efectiva se convierte en otra tasa efectiva con diferente período de capitalización utilizando para ello la fórmula (19). La tasa vencida se convierte en una tasa anticipada, utilizando el modelo (21). Ejemplos y Casos 2.14 RELACIÓN ENTRE TASAS EFECTIVAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS 2 Un fabricante quiere conocer la tasa efectiva anticipada semestral que debe cobrar en una venta a crédito, si la tasa efectiva vencida que usualmente cobra es del 8% ET. Solución Parámetros Tasa de Interés: 8%ET Cálculos Paso 1: para hallar la tasa efectiva semestral anticipada equivalente, inicialmente se debe hallar la tasa efectiva semestral equivalente aplicando la fórmula (19). En este caso, es 8%, n es 4 y n es 2. = (1 + ) 1 = (1 + 0,0 ) 4 1 = 0,166 = 16,6 % E Paso 2: para hallar la tasa efectiva semestral anticipada equivalente se utiliza la fórmula (21). En este caso es 16,64% ES. = (1 + ) 68 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

69 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto = 0,166 = 0,1 26 = 1,26% E (1 + 0,166 ) Respuesta La tasa efectiva semestral anticipada que debe cobrar el fabricante es 1,26% E 4.3 Tasa nominal equivalente de una tasa efectiva. Para hallar la tasa nominal equivalente de una tasa efectiva, se procede como sigue: En caso de ser necesario la tasa efectiva se convierte en una tasa efectiva para otro período de capitalización, utilizando como referencia el período de capitalización de la tasa nominal que se pide; para eso aplicamos la fórmula (19). La tasa efectiva hallada se convierte en una tasa nominal, aplicando la fórmula (1 ). Ejemplos y Casos 2.15 RELACIÓN ENTRE TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS 1 Una entidad financiera quiere conocer con que tasa nominal semestral debe promocionar una línea de crédito para la cual desea cobrar una tasa efectiva vencida del 2%EM. Solución Parámetros Tasa de Interés: 2%EM Cálculos Paso 1: para hallar la tasa nominal semestral equivalente, inicialmente se halla la tasa efectiva semestral equivalente aplicando la fórmula (19). En este caso, es 2%, n es 12 y n es 2. = (1 + ) 1 69 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

70 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto = (1 + 0,02) 1 = 0,12616 = 12,62% E Paso 2: para hallar la tasa nominal semestral equivalente se utiliza la fórmula (18). En este caso es 12,62% ES y es 2 = = 0, = 0,2 23 = 2,23% N_s Respuesta La entidad financiera debe promocionar la línea de crédito a una tasa nominal semestral del 2,23% N_s 4.4 Tasa efectiva equivalente de una tasa nominal. Para hallar la tasa efectiva equivalente de una tasa nominal, se procede como sigue: Para la tasa nominal dada se halla la tasa efectiva, utilizando como referencia el período de capitalización de la tasa nominal; a través de la fórmula (1 ). En caso que la tasa efectiva pedida tenga un período de capitalización diferente a la hallada en el punto anterior, se halla la tasa equivalente, utilizando de la fórmula (19). Ejemplos y Casos 2.16 RELACIÓN ENTRE TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS 2 Qué tasa efectiva trimestral está cobrando una entidad financiera que promociona una línea de crédito al 12% N_s? Solución Parámetros Tasa de Interés: 12% N_s Cálculos 70 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

71 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Paso 1: para hallar la tasa efectiva trimestral equivalente de la tasa del 12% N_s, inicialmente se halla la tasa efectiva semestral equivalente aplicando la fórmula (1 ). En este caso, es 12%, y es 2 = 0,12 2 = = 0,06 = 6% E Paso 2: para hallar la tasa efectiva trimestral equivalente se utiliza la fórmula (19). En este caso es 6% ES, n es 2 y n es 4 = (1 + ) 1 = (1 + 0,06)4 1 = 0,0296 = 2,96% ET Respuesta La entidad financiera está cobrando una tasa efectiva trimestral equivalente del 2,96% ET 5. Ecuaciones de valor La reliquidación de obligaciones financieras es una práctica corriente en el sector financiero. La falta de liquidez o la mejora de las condiciones financieras, son, entre otras, razones para cambiar obligaciones presentes por otras. A través del concepto de Ecuación de Valor se pueden hallar equivalencias de préstamos u obligaciones financieras. 5.1 Concepto de Ecuación de Valor La ecuación de valor permite convertir un conjunto de obligaciones con vencimientos pre-establecidos en una o varias obligaciones equivalentes con vencimientos en fechas diferentes. Ilustración del concepto de Ecuación de Valor 71 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

72 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Considérese una obligación de $ que debe ser cancelada en dos años, pagando una tasa efectiva mensual del 3%. El flujo de caja de esta operación financiera se muestra en la gráfica No 2.3. En esta operación para hallar el valor futuro aplicamos la fórmula (13). V f = V p (1 + ) V f = (1 + 0,03) 4 = ,06 Gráfica No 2.3 Valor del Dinero en el Tiempo 1 V p = i = 3% mensual V f =? El valor de ,06 es el equivalente de en el mes 24, a una tasa de interés efectiva mensual del 3%. De esta forma se ratifica lo dicho, no es posible comparar cantidades de dinero en el tiempo; para que se pueda realizar cualquier operación entre valores de dinero, estas se deben hacer en un instante del tiempo. Por ejemplo, considerando que $ y $ ,06 son 72 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

73 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto valores equivalentes a una tasa de interés del 3% EM, se espera que los dos valores comparados en un mismo período sean iguales. Para hacer esta comparación se selecciona un período cualquiera entre 0 y 24 y hallamos los valores equivalentes del capital del período 0 ( ) y del período 24 ( ,06); lo anterior debería conducir a que ambos resultados sean iguales; la situación se ilustra en la gráfica No 2.4 Se selecciona como período de referencia el 8, en el cual se calculan los equivalentes de los valores de los períodos 0 y 24. Para hallar el valor equivalente del período 0, utilizamos la fórmula (13) ya que lo que se quiere es hallar el valor futuro de $ en el período 8. Gráfica No 2.4 Valor del Dinero en el Tiempo 2 i = 3% mensual V f = , V p = V f = V p (1 + ) V f = (1 + 0,03) = , 1 Para hallar el valor equivalente del período 24, utilizamos, por su parte, la fórmula (1 ) ya que lo que se quiere es hallar el valor presente de $ ,06 en el período Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

74 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto V p = V f (1 + ) V p = ,06 (1 + 0,03) = , 1 Como se esperaba ambos valores son iguales. En conclusión cuando se quieren comparar valores monetarios, esta debe hacerse en un mismo período de tiempo; esta es la base conceptual sobre la cual se fundamenta la Ecuación de Valor. 5.2 Modelo de la Ecuación de Valor El principio fundamental de la ecuación de valor establece que en una operación financiera, con una tasa de interés pactada, la suma de los ingresos es igual a la suma de los egresos en una fecha determinada, dicha fecha, que podría ser cualquiera, recibe el nombre de fecha focal (ff). La expresión (22) define en términos matemáticos la ecuación de valor. n resos = e resos (en la ff) (22) Considerando que toda operación financiera está compuesta por obligaciones y pagos; la ecuación de valor también se puede expresar, como: l a ones = Pa os (en la ff) (23) La fecha focal se define libremente a criterio del analista; en las ecuaciones se nombra como ff, y en el flujo de caja, gráficamente se representa como una línea 74 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

75 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto interrumpida perpendicular a la línea del tiempo, cruzando por la fecha escogida. En la gráfica No 2.5 se ilustra el concepto de la ecuación de valor. Gráfica No 2.5 Ecuación de Valor ff. n Para el uso de la Ecuación de valor se propone el siguiente procedimiento: Paso 1. Considere el conjunto de obligaciones que se quieren cambiar como los ingresos de la operación, para cada una de ellas tenga en cuenta la tasa de interés efectiva pactada para la operación. Paso 2. Considere el nuevo conjunto de obligaciones como los egresos de la operación, para ello tenga en cuenta la tasa de interés efectiva que se pacta para las nuevas condiciones. Paso 3. Definir la fecha focal. Recuerde que no hay restricción para la selección de la fecha focal; pero una buena selección muchas veces ayuda en los cálculos. Paso 4. Para establecer la ecuación de valor, halle el valor equivalente de las deudas y pagos (ingresos y egresos) en la fecha focal utilizando para ello las fórmulas (13) y (15) según que se trate de un hallar un valor futuro o un valor presente. Ejemplos y Casos 75 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

76 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 2.17 ECUACIÓN DE VALOR 1 Una pequeña empresa tiene los siguientes compromisos financieros con el Banco Medellín: 25 millones deben ser pagados en cinco meses, 30 millones en ocho meses, y 15 millones en doce meses. Después de revisar su flujo de caja el gerente de la empresa propone al banco una nueva forma de pago: 6 millones a la fecha, 20 millones en el mes doce y el saldo en 20 meses. Suponiendo que el banco mantiene sin variaciones la tasa de interés, que es del 3% efectiva mensual; se pide determinar el valor del saldo que debe pagar el empresario. Solución Parámetros Ingresos: 25 millones en el mes 5, 30 millones en el mes 8 y 15 millones en el mes 12 Egresos: 6 millones en el mes 0, 20 millones en el mes 12 y el saldo en el mes 20. Fecha focal: se define el período 12 Tasa de interés efectiva: 3% EM Representación gráfica ff X Cálculos Ingresos calculados en la fecha focal. 1. V f = (1 + 0,03) 7 = ,6 2. V f = (1 + 0,03) 4 = ,30 3. V f = (1 + 0,03) = ,00 Egresos calculados en la fecha focal. 1. V f = (1 + 0,03) =. 6,32 76 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

77 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 2. V f = (1 + 0,03) = ,00 3. V p = X(1 + 0,03) = 0, 9 X Ecuación de valor n resos = e resos (en la ff) ( , , ) = (. 6, , 9 X) ,9 = 2. 6,32 + 0, 9 X ,9 2. 6,32 = 0, 9 X 0 9.,62 = 0, 9 X X = ,33 Respuesta: El último pago que deberá hacer el empresario en el mes 20, es de: $ , ECUACIÓN DE VALOR 2 Una pequeña empresa contrajo una deuda de 15 millones hace 4 meses con vencimiento en 5 meses a partir de hoy, para esta deuda se pactó una tasa de interés del 22% N-t. Además acordó una segunda deuda en la fecha por 20 millones con vencimiento en doce meses y una tasa de interés 12% ES. Si por problemas de liquidez el gerente de la compañía propone pagar estas deudas en dos cuotas iguales en los meses 6 y 12 y el banco cobra una nueva tasa de interés del 15% EA, Cuál será el valor de los dos pagos? Solución Parámetros Ingresos: obligaciones de 15 millones en el mes 5; y de 20 millones en el mes 12 Egresos: Pagos X en el mes 6 y X en el mes 12. Fecha focal: se define el período 12 Tasa de interés efectiva: 15% EA Cálculos preliminares Valor de la deuda de 15 millones en el mes 5, tasa de interés 22% N-t. Cuatro más cinco meses da un tiempo de 9 meses o lo que es igual a 3 tres trimestres. Calculo del interés efectivo trimestral a partir del interés nominal: =, 4 = 0,0 =, % ET. 77 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

78 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Aplicando la fórmula (13) para hallar el valor equivalente en la fecha de vencimiento de la deuda, se obtiene: V f = (1 + 0,0 ) 3 = ,63 El valor equivalente de la obligación del préstamo de $20 millones, para la cual se cobra el 12% ES, en el mes 12 es: V f = (1 + 0,12) = ,00 Representación gráfica Considerando las obligaciones calculadas y la nueva propuesta de pago, en la siguiente gráfica se ilustra la operación financiera que el empresario propone al banco: ,63 ff , X X Cálculos Para los cálculos de los pagos que se proponen se aplica la nueva tasa de interés que cobrara el banco; es decir, 15% EA Ingresos calculados en la fecha focal. 1. V f = ,63(1 + 0,1 ) 7 = ,0 2. V f = ,00(1 + 0,1 ) = ,00 Egresos calculados en la fecha focal. 1. V f = X(1 + 0,1 ) 6 = 1,0 23X 78 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

79 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 2. V f = X(1 + 0,1 ) = X Ecuación de valor n resos = e resos (en la ff) ( , ,00) = (1,0 23X + X) 19. 1,0 = 2,0 23 X X = , 1 Respuesta: Los dos pagos que debe realizar el empresario en los períodos 6 y 12 deben ser de $ , ECUACIÓN DE VALOR 3 Una pequeña empresa tiene los siguientes compromisos financieros con el banco Medellín: 10 millones con vencimiento en 6 meses, 25 millones con vencimiento en 9 meses y 35 millones con vencimiento en 12 meses. En qué fecha debería realizar un pago único de 72 millones, si el banco le cobra una tasa efectiva de interés del 3,5% ET. Solución Parámetros Ingresos: 10 millones en el mes 6 (2 trimestres), 25 millones en el mes 9 (3 trimestres) y 35 millones en el mes 12 (4 trimestres) Egresos: 72 millones. Fecha focal: se define el período 0 Tasa de interés efectiva: 3,5% ET; de este modo se trabaja con períodos trimestrales Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación que se propone. Las obligaciones pendientes se simulan como ingresos, en cambio la nueva obligación, como un egreso 79 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

80 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto ff n 72 Cálculos Ingresos calculados en la fecha focal. 1. V p = (1 + 0,03 ) = ,00 2. V p = (1 + 0,03 ) 3 = 22. 6,6 3. V p = (1 + 0,03 ) 4 = ,9 Egresos calculados en la fecha focal. 1. V p = (1 + 0,03 ) Ecuación de valor n resos = e resos (en la ff) ( , , ,9 ) = (1 + 0,03 ) ( ) 0, 66 = (1,03 ) ( ) log 0, 66 = log(1,03 ) ( ) log 0, 66 = n log 1,03 log 0, 66 log 1,03 = n 80 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

81 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto,16 = n n =,16 tr estres Respuesta: El pago debe hacerse en el trimestre 4,16; o lo que es igual, en el mes 12, ECUACIÓN DE VALOR 4 Una pequeña empresa tiene los siguientes compromisos financieros con el banco Medellín: 10 millones con vencimiento en 6 meses, 25 millones con vencimiento en 9 meses y 35 millones con vencimiento en 12 meses. Si realiza un pago único de 72 millones en el mes 15, Qué tasa de interés efectiva mensual está cobrando el banco? Solución Parámetros Ingresos: 10 millones mes 6, 25 millones mes 9 y 35 millones en el mes 12 Egresos: 72 millones en el mes 15 Fecha focal: se define el período 15 Se trabaja con períodos mensuales ya que se quiere obtener una tasa efectiva mensual Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación. Las obligaciones pendientes se simulan como ingresos, y la nueva obligación, como un egreso ff Cálculos Ingresos calculados en la fecha focal 81 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

82 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 1. V f = (1 + ) 9 2. V f = (1 + ) 3. V f = (1 + ) 3 Egresos calculados en la fecha focal 1. V f = (1 + ) Ecuación de valor n resos = e resos (en la ff) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 3 = Considerando que se trata de una ecuación de grado 9, no se puede solucionar por un método analítico y es necesario hallar el valor de, por el método de ensayo y error. Lo primero es simplificar la ecuación, para esto se divide por ambos lados de la ecuación y se pasa a restar el término independiente al lado izquierdo de la ecuación 10(1 + ) (1 + ) + 3 (1 + ) 3 = 2 10(1 + ) (1 + ) + 3 (1 + ) 3 2 = 0 Para hallar inicialmente le damos un valor, por ejemplo 1,5% EM, y calculamos la ecuación. Si el resultado es mayor que cero para una nueva simulación se incrementa el valor, en caso contrario se disminuye. Calculando para = 0,015, el resultado es 3,3687 que es mayor que 0; entonces en este caso se disminuye. La nueva simulación se hace para = 0,01, en este caso el resultado es: 1,5353 que es igualmente mayor que 0, lo cual indica que se debe disminuir aún más la variable. Al probar con =0,005 se obtiene -0,2538. Con este resultado se puede concluir que la tasa de interés que soluciona la ecuación esta entre 0,01 y 0,005; es decir, entre el 1% y el 0,5%. Interpolando Si para una diferencia entre 1,5353 y -0,2538, hay una diferencia de 0,5%, para una diferencia entre 1,5353, Cuál será la diferencia porcentual? 1% 1,5353 X 0 0,5% -0,2538 x =, 3 3,, 3 3+, 3 X = 0, 09% 82 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

83 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Respuesta: El banco está cobrando una tasa de Interés del 0,5709% EM 6. Operaciones financieras con aplicación de interés compuesto Son múltiples las operaciones financieras en las cuales de manera explícita o implícita se pacta el interés compuesto. La mayor parte de estas operaciones se realizan a través de intermediarios financieros cuyo objetivo es obtener una ganancia; estas entidades operan como intermediarios, recaudan dinero del público pagando una determinada tasa de interés y lo prestan a otras personas a una tasa de interés mayor. La tasa de interés a la cual se recaudan los recursos se denomina tasa de captación y a la cual se presta el dinero tasa de colocación; la diferencia de estas dos tasas se denomina margen de intermediación. A continuación se hace referencia a algunas operaciones financieras que son de uso frecuente en la vida cotidiana. 6.1 Depósitos a término fijo Los depósitos a término fijo (C T) son títulos valores que respaldan los ahorros que las personas naturales o jurídicas realizan por un tiempo determinado en las entidades financieras. En esta operación el ahorrador pone a disposición de la entidad cierta cantidad de dinero por un tiempo determinado, entre los 30 y 360 días, a cambio de recibir un interés. El interés ganado que dependerá del monto ahorrado y el tiempo que se pacte, de acuerdo a la ley tributaria, es una ganancia sujeta a impuestos, los cuales se cobran por la misma entidad al momento de la 83 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

84 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto liquidación del título valor, operación esta conocida como retención en la fuente. Aunque el impuesto dependerá de la vigencia de la ley, la retención en la fuente actual es del 7%. (10% sobre el 70% del pago o abono en cuenta por concepto de rendimientos financieros). Los C T son títulos valores redimibles o reembolsables sólo en los plazos y términos pactados; es decir, que si el C T se pactó a 180 días la entidad financiera no tiene la obligación de pagarlo hasta tanto se venza dicho término. No obstante, el titulo puede ser negociado o endosado en los mercados financieros. Ejemplos y Casos 2.21 DEPÓSITOS A TÉRMINO FIJO Una pequeña empresa ha invertido $60 millones en un depósito a término fijo durante doce meses, en una entidad financiera que le ofrece una tasa de interés del 28% N_m, el gerente quiere conocer: a) El valor que finalmente recibirá si la retención en la fuente es del 5% b) La rentabilidad efectiva que obtendrá en esta operación Solución Parámetros Inversión: 60 millones Tasa de interés: 28% N_m Período de la inversión: 1 año, o 12 meses Retención en la fuente: 5% Representación gráfica En la siguiente gráfica se ilustra la operación financiera. 60 X j = 28% N-m Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

85 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Cálculos Lo primero es determinar la tasa de interés efectiva que se va utilizar en los cálculos considerando que la entidad cobra una tasa del 28% N_m; para ello se utiliza la fórmula (1 ) = 0,2 = 12 = 0,0233 = 2,33% EM Con esta tasa para hallar el valor futuro de la operación, se utiliza la fórmula (13) V f = V p (1 + ) V f = (1 + 0,0233) = ,3 El interés que recibirá el empresario es igual: I = V f V p = ,3 ; sobre este valor (rendimientos financieros) se paga la retención en la fuente; la cual se calcula como: I puesto = ,3 0,0 = , 2 Lo realmente recibido por el inversionista entonces es igual al valor final calculado menos el impuesto o retención en la fuente. V f = V f I = , , 1 = 1 6.1, 3 Para hallar la tasa de interés real recibida se utiliza la fórmula (1 ), teniendo en cuenta el valor invertido y valor realmente recibido durante los 12 meses V f V p 1 = 1 6.1, = ,00 1 = 0,02229 = 2,23% EM Respuesta a) El valor que finalmente recibirá la empresa es: 1 6.1, 3 85 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

86 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto b) La rentabilidad que realmente obtiene la empresa en esta operación es del: 2,23% Conceptos relacionados con los Algunos conceptos importantes relacionados con los depósitos a término fijo son: DTF Es la tasa de interés calculada como un promedio ponderado semanal por monto, de las tasas promedios de captación diarias de los C Ts a 90 días, pagadas por las entidades financieras. La tasa es calculada semanalmente por el Banco de la República con la información provista por la Superintendencia financiera. La T es actualmente la principal tasa de referencia de la economía colombiana; y a pesar de ser un promedio de las captaciones en el corto plazo, se utiliza para indexar bonos de largo plazo de las entidades públicas y privadas TCC Esta tasa de interés es calculada como un promedio ponderado semanal, de las tasas promedios de captación diarias de los C T s a 90 días, pagadas por las corporaciones financieras. La TCC es calculada por el Banco de la República con la información provista por la Superintendencia Bancaria; y como se puede deducir es un subconjunto de la T, ya que se calcula solo con base en la información de las corporaciones financieras 86 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

87 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto CDAT Producto bancario orientado a inversiones de muy corto plazo a una tasa fija en pesos. Su respaldo se hace a través de un título valor que en este caso, a diferencia del C T, no es negociable; no pueden ser endosables, ni estar a nombres de terceros, solo tendrá un titular. 6.2 Inflación y Deflación La inflación es el fenómeno económico que refleja el alza general de los precios de los productos y servicios de la economía de un país. La inflación se calcula con base en el aumento de los productos de la canasta familiar, conjunto de artículos previamente seleccionados, que representan la totalidad de los productos de consumo. A través del siguiente ejemplo se ilustra el concepto de inflación y su incidencia en las relaciones económicas de la sociedad. Considérese el caso hipotético de una familia de clase media que a comienzos del año 2013, consumía los siguientes productos y servicios por mes: alimentos, $ ; vivienda, $ ; educación, $ ; salud, $ ; vestuario y cosméticos, $ ; servicios de energía, agua, alcantarillado y comunicaciones, $ ; transporte, $ ; entretenimiento, $ y otros no clasificados, $ Sumando estos rublos a principio del enero esta familia gastaba en total $ Al revisar los gastos de la familia a finales del año, el precio de los mismos productos fue: alimentos, $ ; vivienda, $ ; educación, $ ; salud, $ ; vestuario y cosméticos, $ ; servicios de energía, agua, alcantarillado y comunicaciones, $ ; transporte, $ ; entretenimiento, $ y otros no clasificados, $ ; que suman en total $ Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

88 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto En este caso, la familia gastaba a finales del año $ más de lo que gastaba en enero para adquirir la misma cantidad de bienes y servicios. Lo anterior significa que el nivel de precios de los bienes y servicios aumento $ (4,40%) entre el principio y el final del año. Al aumento porcentual en los precios se le denomina inflación. La inflación, entonces tiene que ver con lo que en economía se denomina capacidad adquisitiva de la moneda ; es decir, con $ a principio del año 2013 se tenía la capacidad de adquirir todo lo que esta familia necesitaba, pero, a finales del año con esos mismos $ , la capacidad de compra se disminuyó. La inflación hace que el dinero pierda capacidad adquisitiva a través del tiempo. La inflación tiene su origen en dos causas: Demanda. Los precios aumentan porque hay un exceso en la demanda de los bienes y servicios. Lo que el mercado demanda está por encima de lo que se oferta, lo cual produce escases, y por consiguiente el vendedor tiende a cobrar más por los productos. Oferta. Varias circunstancias del mercado, como por ejemplo un incremento en los costos, podrían conducir a que los productores de bienes y servicios disminuyan o incluso se dejen de producir; esto hace que la oferta disminuya, por lo que, ante una demanda constante, los bienes se hacen escasos y el precio de éstos aumenta. La inflación se mide a través de los cambios del Índice de Precios al Consumidor (IPC); el cual mide los precios de un grupo de productos representativos de la economía. En Colombia el Departamento Nacional de Estadística ( ANE) es la entidad encargada de calcular el índice mensualmente. La referencia que toma el 88 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

89 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto ANE para el cálculo es la canasta familiar, que es un conjunto de bienes y servicios que hipotéticamente adquieren las familias típicas de nuestro país. Los cálculos se realizan con información que se recolecta en aproximadamente veinte mil establecimientos. De esta forma el IPC mide el cambio a través del tiempo en los precios de la canasta familiar; si la variación indica aumento en los precios se dice que se ha producido inflación; por el contrario, si la variación indica disminución, se presenta el fenómeno opuesto denominado deflación. La inflación se simboliza con la letra f ; la deflación se representa, por su parte, como: f. En el sector empresarial la canasta de productos en vez de bienes de consumo incluye materias primas, salarios, servicios y demás materiales e insumos necesarios para la producción, en este caso la inflación de los productos se mide de acuerdo a las variaciones del IPP Índice de precios al productor- el cual varía de acuerdo sector económico. En general, mientras no se indique lo contrario, la inflación se define como una tasa efectiva anual. 6.3 Devaluación y revaluación La devaluación es la pérdida de valor de una moneda frente a otra; dicha perdida se produce principalmente por el juego de la oferta y la demanda; a mayor demanda de una moneda, como por ejemplo, el dólar, el precio de este tiende a subir; por el contrario cuando hay poca demanda el precio baja, produciéndose el fenómeno contrario denominado revaluación. El valor de una moneda con respecto a otra se miden a través de la Tasa de Cambio (TC). Cuando la variación porcentual de la tasa de cambio en el tiempo es 89 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

90 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto positiva, se dice que hay Devaluación ( ), por el contrario cuando la variación es negativa ( ) hay Revaluación. La devaluación o revaluación se calcula como el cambio porcentual de la tasa de cambio, así como se calcula con la fórmula (2 ). e alua n = = TC f TC TC (2 ) De donde: : Devaluación TC : Tasa de cambio inicial TC f : Tasa de cambio final De acuerdo a la definición, hay devaluación del peso frente al dólar cuando hay que pagar hoy $1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde el valor del mismo dólar es de $1.900 pesos; para calcular la devaluación se aplica la fórmula (2 ), como se muestra a continuación: = = 0,0 =, % Para el caso se dice que hubo una devaluación del 5,5% del peso con respecto al dólar. Contrario a la devaluación se define la revaluación como la ganancia de valor de una moneda con respecto a otra; por ejemplo hay revaluación del peso frente al dólar cuando hay que pagar hoy $1.800 pesos por un dólar y un tiempo después por ese mismo dólar se paga $1.750; para calcular la revaluación se utiliza igualmente la fórmula (2 ); la diferencia radica en que ahora el resultado es negativo, así como se muestra a continuación. = = 0,02 = 2, % 90 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

91 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tasa Representativa del Mercado ( ) De acuerdo al Banco de la Republica la Tasa Representativa del Mercado (TRM) es la cantidad de pesos colombianos que se paga por un dólar de los Estados Unidos; es decir, es la tasa de cambio del peso frente al dólar. La TRM se calcula con base en las operaciones de compra y venta de divisas en el mercado cambiario colombiano y su cálculo lo realiza y certifica diariamente la Superintendencia Financiera de Colombia con base en las operaciones registradas el día hábil inmediatamente anterior. Las variaciones de la TRM (devaluación y revaluación) como fenómeno económico afecta el comercio exterior del país. Por ejemplo, cuando hay una devaluación del peso frente al dólar los exportadores reciben mayor cantidad de pesos cuando venden en el exterior; por el contrario, cuando existe una revaluación el exportador recibirá menor cantidad de pesos; disminuyendo así sus ganancias. Por su parte, los importadores cuando hay devaluación tendrán que pagar más pesos por las mercancías en el exterior; y en el caso de revaluación lo pagado en pesos en el exterior se reduce, aumentando así sus ganancias. Esta es la razón por la cual se dice que la tasa de cambio es un factor determinante en la competitividad de los empresarios y comerciantes nacionales Calculo de la Tasa de Cambio Dada la tasa de cambio actual y la devaluación o revaluación expresada como una tasa efectiva anual, para un período de tiempo determinado, se puede calcular la tasa de cambio final, como se indica en la fórmula (2 ), la cual no es más que la aplicación de la fórmula (13) para el valor de la TC 91 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

92 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto TC f = TC (1 + ) (2 ) Los símbolos tienen el mismo significado que en la fórmula (2 ) Ejemplos y Casos 2.22 INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN 1 Un inversionista colombiano quiere realizar un depósito a término fijo por doce meses en el Banco de New York por valor de USD$ Si el banco reconoce una tasa de interés del 5% EA, la tasa de cambio actual es $1.820 por dólar y la devaluación estimada para el año es del 7%; entonces se quiere conocer cuál es rentabilidad anual que recibirá el inversionista. Solución Parámetros Inversión: USD$ Tasa de interés: 5% EA Período de la inversión: 1 año, o 12 meses Tasa de cambio inicial: $1.820 por 1USD$ Devaluación del peso con respecto al dólar: 7% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación de inversión. X i = 5% EA; dv =7% 1 USD$20.000; TC = Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

93 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Cálculos Para hallar el valor futuro que recibirá el inversionista en dólares, se utiliza la fórmula (13) V f = V p (1 + ) V f = (1 + 0,0 ) = U $ Para calcular la inversión realizada en pesos, se aplica la tasa de cambio a lo invertido en dólares In ers n en pesos = = Para calcular lo recibido en pesos, primero se calcula la tasa de cambio al final del año considerando la devaluación del peso con respecto al dólar. Para este cálculo se utiliza la fórmula (2 ) TC f = TC (1 + ) TC f = 1. 20(1 + 0,0 ) = 1.9, 0 Considerando esta tasa de cambio se puede calcular lo recibido en pesos al cabo de un año: Re o en Pesos = , = Para calcular la rentabilidad obtenida por el inversionista se debe calcular la tasa de interés teniendo en cuenta lo invertido y lo recibido, durante el año de inversión, para ello se utiliza la fórmula (1 ) ( V f V p ) 1 = = ( ) 1 = 0,123 = 12,3 % Respuesta La rentabilidad recibida por el inversionista es del 12,35% EA 93 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

94 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 6.4 Tasa de Interés Combinadas Del ejemplo 2.22, se puede concluir que una inversión realizada en el exterior gana dos tipos de interés: el interés reconocido por el banco y los rendimientos obtenidos por la devaluación del peso con respecto al dólar durante el tiempo que dura la inversión. Lo anterior implica que se están aplicando paralelamente dos tasas de interés: una tasa que es la tasa del banco; y la tasa, que corresponde a la devaluación del peso con respecto a la otra moneda. La tasa combinada reúne ambas tasa de interés; a continuación se deduce la fórmula del interés combinado. Para un peso sometido a una tasa de interés, durante un período, el valor final aplicando la fórmula (13) será: V f = (1 + ) Por su parte si el valor resultante se somete a una tasa de interés, también durante de un período, el valor final, aplicando igualmente la fórmula (13) será: V f = (1 + ) (1 + ) (a) De otro lado, el monto final que se obtiene, aplicando una tasa de interés combinada durante un período, utilizando la fórmula (13), es: V f = (1 + ) ( ) Considerando que V f debe ser igual, entonces (a) = ( ) y se obtiene: (1 + ) = (1 + ) (1 + ) Despejando de la ecuación anterior, se obtiene: 94 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

95 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto = + + (26) Qué hubiera sucedido con la rentabilidad del ejemplo 2.22 si en vez de devaluación, se hubiera presentado reevaluación? 6.5 Tasa corriente y Tasa deflactada o tasa real Con la tasa de interés corriente se negocia y se hacen las transacciones del día a día; con ella se pretende cubrir la inflación o pérdida del valor del dinero en el tiempo y la ganancia que el poseedor del dinero pretende por poner a disposición de otro agente sus ahorros. Ante estas consideraciones, la tasa de interés corriente es la combinación de dos tasas: la inflación y la tasa real, la cual se puede expresar matemáticamente aplicando la fórmula (26), como: = + f + f En muchas ocasiones el gerente o administrador para la toma de decisiones necesita conocer la tasa real; es decir, la tasa de interés que no está afectada por la inflación, también conocida como la tasa deflactada. Dicha tasa se puede obtener despejando De donde: : Rentabilidad real : Rentabilidad corriente f: Inflación, de la ecuación anterior: = f 1 + f (2 ) 95 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

96 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Ejemplos y Casos 2.23 INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN 2 Un inversionista colombiano quiere realizar un depósito a término fijo por doce meses en el Banco de New York por valor de USD$ Si el banco reconoce una tasa de interés del 5% EA, la tasa de cambio actual es $1.820 por dólar y la revaluación estimada para el año es del -2%; entonces se quiere conocer cuál es rentabilidad anual que recibirá el inversionista. Resolver por tasas combinadas. Solución Parámetros Inversión: USD$ Tasa de interés: 5% EA Período de la inversión: 1 año, o 12 meses Tasa de cambio inicial: $1.820 por 1USD$ Revaluación del peso con respecto al dólar: -2% Cálculos Considerando que la inversión en pesos está sometida tanto a la tasa de interés que reconoce el banco, como a la reevaluación, para calcular la rentabilidad obtenida por el inversionista se utiliza directamente la fórmula (26) de tasas combinadas: = + + = 0,0 0,02 + 0,0 0,02 = 0,123 = 2,9% Respuesta La rentabilidad recibida por el inversionista es del 2,9% EA. En este caso, contario al inversionista del ejemplo 2.22, debido a la revaluación el inversionista recibe una tasa de interés menor a la que ofrece el banco INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN 3 Un inversionista colombiano quiere realizar un depósito a término fijo por doce meses en el Banco de New York por valor de USD$ Si el banco reconoce una tasa de interés del 5% EA, la tasa de cambio actual es $1.820 por dólar y la devaluación estimada para el año es del 7%; entonces se quiere conocer cuál es rentabilidad real anual que recibirá el inversionista, si la inflación estimada en Colombia para el año de la inversión es del 4% Solución Parámetros Inversión: USD$ Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

97 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Tasa de interés: 5% EA Período de la inversión: 1 año, o 12 meses Tasa de cambio inicial: $1.820 por 1USD$ Devaluación del peso con respecto al dólar: 7% Inflación en Colombia: 4% Cálculos Para calcular la rentabilidad obtenida por el inversionista se utiliza directamente la fórmula de tasas combinadas, fórmula (26) = + + = 0,0 + 0,0 + 0,0 0,0 = 0,123 = 12,3 % Por su parte para el cálculo de la rentabilidad real se aplica la fórmula (2 ) = f 1 + f = 0,123 0, ,0 = 0,0 02 =,02% Respuesta La rentabilidad real obtenida por el inversionista es del,02% EA. Reflexione: Cuál hubiera sido la rentabilidad real, si en vez de devaluación se hubiera presentado revaluación? 6.6 Equivalencia de tasas referenciadas En varias operaciones financieras la tasa de interés que se pacta no corresponde a una tasa fija; sino que se acuerda una tasa de referencia, usualmente variable, más unos puntos adicionales conocidos como PREA. Cuando la tasa de referencia está dada por una tasa efectiva, la tasa pactada se calcula como la combinación de la tasa de referencia y el PREA para lo cual se utiliza la fórmula (26). Por su parte, cuando la tasa principal se expresa como un interés nominal, entonces simplemente se suman la tasa principal y el PREA. 97 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

98 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Son tasas de referencia efectivas anuales la inflación, la Tasa Interbancaria (TIB); por su parte, el T y el TCC se expresan como tasas de interés nominal. Ejemplos y Casos 2.25 TASAS DE REFERENCIA 1 Determinar la tasa de interés efectiva mensual que paga un crédito de vivienda que se pacta al DTF más 5 puntos. El DTF a la fecha es del 18% N_t Solución Parámetros DTF: 18% N-t SPREAD: 5 puntos Cálculos Considerando que la tasa de interés principal es una tasa nominal, simplemente se suman a esta los puntos del SPREAD. 0,1 + 0,0 = 0,23 = 23% N t Para calcular la tasa efectiva mensual, se procede como se explicó anteriormente para el cálculo de una tasa equivalente. Es decir, primero se halla la tasa efectiva correspondiente a la tasa nominal, y a partir de ésta, se calcula la tasa equivalente efectiva mensual. Para esto se utilizan las fórmulas (1 ) y (19). La tasa efectiva equivalente de la tasa nominal, es: = = 0,23 = 0,0 =, % ET Para convertir esta tasa en una tasa efectiva mensual aplicamos la ecuación (19) = (1 + ) 1 = (1 + 0,0 ) 4 1 = 0,01 = 1, % EM Respuesta El crédito de vivienda paga una tasa de interés efectiva mensual del 1, % EM 98 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

99 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto 2.26 TASAS DE REFERENCIA 2 Una persona está pagando un crédito de vivienda al IPC + 4 puntos. Cuál será el SPREAD, si se quiere cambiar a un plan con tasa de referencia del DTF? Suponga una inflación del 5,5% y una DTF del 8% N-t a Solución Parámetros Crédito de vivienda: IPC + 4 puntos Inflación, IPC: 5,5% DTF: 8% N-ta Cálculos Para determinar el SPREAD, se debe hallar X en la siguiente ecuación: IPC + = T + X Para hallar el valor de X, lo primero es resolver la parte izquierda de la ecuación: ya que el IPC es una tasa efectiva anual, para sumar los puntos del SPREAD se debe aplicar la fórmula (26) = + + = 0,0 + 0,0 + 0,0 0,0 = 0,09 2 = 9, 2% EA Considerando que la DTF está expresada en interés nominal trimestre anticipada, se debe inicialmente hallar la tasa equivalente efectiva trimestral, utilizando para ello la fórmula (19) = (1 + ) 1 = (1 + 0,09 2)4 1 = 0,023 6 = 2,3 % ET Lo siguiente es hallar de esta tasa la tasa equivalente trimestral anticipada, para lo cual se utiliza la fórmula (21). = (1 + ) = 0,023 6 = 0,02292 = 2,29% ET (1 + 0,023 6) 99 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

100 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Partir de esta tasa efectiva anticipada se halla la tasa nominal equivalente, utilizando la fórmula (1 ) = = 0,02292 = 0,0916 = 9,1 % N_t Remplazando este valor en la ecuación inicialmente planteada, se puede hallar el valor de X. IPC + = T + X 0,091 = 0,0 + X X = 0,011 Respuesta El SPREAD necesario para el cambio del plan es de 1,17 puntos 6.7 Aceptaciones bancarias y financieras Son títulos valores emitidos por una entidad financiera, a solicitud de un cliente, y en favor de un proveedor de bienes o servicios. A través de ellas un comprador de bienes o servicios a crédito asegura su pago al proveedor con el respaldo de una entidad financiera. Las aceptaciones reciben el nombre de bancarias cuando son respaldadas por los bancos, y financieras cuando su respaldo proviene de otras entidades financieras. En general, su plazo es menor a un año; no son divisibles y no son gravables en el mercado primario. En la gráfica 2.6 se ilustra el uso de las aceptaciones bancarias o financieras. Supóngase que un proveedor de materias primas para el sector Agrícola recibe un pedido por valor de $300 millones; pero la empresa agrícola solicita un plazo de 180 para su pago. El proveedor acepta el pedido con la condición de que una entidad financiera garantice el pago. Para cumplir con el requerimiento la 100 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

101 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto empresa agrícola solicita a su banco expedir a nombre del proveedor una aceptación bancaria por $300 millones con vencimiento en 180 días. Expedida la aceptación la empresa agrícola la entrega a su proveedor. El proveedor tiene la opción de negociar el documento en el mercado secundario, antes del vencimiento o esperar la fecha de su vencimiento para cobrarla en el banco o en la entidad financiera. Por su parte, cuando decide descontarla antes de su vencimiento en el mercado secundario tiene la opción del mercado extrabursátil OTC (Over the counter) o en el mercado bursátil. Gráfica No 2.6 Aceptaciones Bancarias y Financieras Banco /Entidad Expide aceptacion a solicitud de un Comerciante Bolsa Mercado Bursatil donde se puede descontar la aceptacion Comerciante recibe la aceptacion del Banco OTC mercado extrabursatil; donde se puede descontar Aceptación Proveedor recibe aceptacion del comerciante como respaldo a una compra 101 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

102 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Ejemplos y Casos 2.27 ACEPTACIONES BANCARIAS Una fábrica de bienes de primera necesidad recibe un pedido de un distribuidor por valor de $50 millones de pesos. El fabricante ofrece crédito a un plazo de 120 días, pero exige que el pago sea respaldado por una entidad financiera. Para esto, el comprador solicita a su banco una aceptación bancaria por 50 millones a nombre del fabricante y con vencimiento en 120 días. El banco le expide al distribuidor la aceptación y este a su vez la entrega al fabricante para respaldar el pedido. a) Si faltando 60 días el fabricante decide vender la aceptación en el mercado OTC (el inversionista puede ser: un particular, una compañía de financiamiento comercial, un leasing, etc.) a una tasa descuento del 25% anual, Cuál será el valor que recibirá el fabricante? b) Si faltando 60 días el fabricante decide vender la aceptación en el mercado Bursátil; con una tasa de registro del 25% anual, y una comisión de venta del 0,5%. Cuál será el valor que recibirá el fabricante? Solución a) Venta en el mercado OTC Parámetros Valor de maduración de la aceptación: 50 millones Tasa de descuento: 25% Tiempo de descuento: 60 días Representación Gráfica En la siguiente Gráfica se ilustra la operación de descuento de la aceptación financiera d = 2 % 60 días V p 102 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

103 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto Cálculos Para calcular el valor presente o líquido de la operación se aplica fórmula (1 ) ya que se trata de una operación donde se aplica interés compuesto: V p = V f (1 + ) = V f (1 + ) V p = (1 + 0,2 )3 = 1.62,20 Respuesta Precio de venta de la aceptación bancaria: $ b) Venta en el mercado Bursátil Parámetros Valor de maduración de la aceptación: 50 millones Tasa de registro: 25% Comisión: 0,5% Tiempo de descuento: 60 días Representación Gráfica En la siguiente Gráfica se ilustra la operación i r = 2 % ; comisi n % 60 días V p En este caso la tasa de descuento debe incluir la comisión, es decir: 25% + 0,5% = 25,5%; igualmente se aplica la fórmula (15): 103 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

104 Unidad de Aprendizaje No 2 - Interés Compuesto V p = V f (1 + ) = V f (1 + ) V p = (1 + 0,2 )3 = , 1 Nótese que el valor de la comisión de venta se puede calcular como la diferencia entre el precio de venta y el precio de registro Respuestas o s n = , 1 = 32.03, 9 Precio de venta: Precio de registro: , 1 Comisión: 32.03, Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

105 Unidad de Aprendizaje No 3 - Anualidades y Gradientes Anualidades y Gradientes UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES OBJETIVO Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para esto deducirán los modelos matemáticos para calcular el valor presente, valor futuro, interés y número de pagos para las anualidades y gradientes; además aplicarán los modelos en situaciones de la vida empresarial. CONTENIDO Introducción 1. Anualidades 2. Anualidades anticipadas 3. Anualidades diferidas 4. Anualidades perpetuas 5. Gradientes 105 Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C

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