Matemá<cas Financieras y Evaluación de Proyectos ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013


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1 CONTABILIDAD ICS2613 Matemá<cas Financieras y Evaluación de Proyectos 1 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

2 El valor del dinero en el.empo Principio fundamental en finanzas: 1 $ hoy vale más que 1 $ mañana Esto se debe a que el dinero hoy puede inver.rse y empezar a generar intereses % 7.50% Valor ($) Año 2 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

3 Valor Futuro El valor futuro de un flujo C en un período más puede ser expresado como: VF = C r) El valor futuro de un flujo C en n períodos más: VF = C r) n El valor en m de un flujo C en n : VF m = C (1 + r) m n 3 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

4 Método del valor presente Para valorizar ac.vos financieros u.lizamos el concepto de Valor Presente (VP) o Valor Actual Neto (VAN). Este concepto considera que existe un costo de oportunidad asociado a las inversiones, es decir, que es mejor tener $1 hoy que $1 mañana. Para su cálculo es necesario tener clara cuál es la recompensa que se exige por aplazar el cobro. C Hoy Mañana 4 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

5 Método del valor presente Cuál es el valor presente cuando se recibe un flujo C en 1 período más? VP = C r) Donde r es la tasa exigida o tasa de descuento El factor de descuento se define como 1/(1+r) Cuál es el valor presente cuando se recibe un flujo C en n período más? VP = C r) n 5 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

6 Método del valor presente Cuál es el valor presente de los siguientes flujos? C1 C2 C3 C4 (T = 1) (T = 2) (T = 3) (T = 4) VP = C1 (1 + r) + C2 (1 + r) 2 + C3 (1 + r) 3 + C4 (1 + r) 4 Resumiendo, la fórmula para calcular VP de un patrón de flujos será: VP = F i i i= 0.. N (1 + r ) Donde r es la tasa exigida o tasa de descuento, la que es constante para todos los períodos 6 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

7 Anualidad Cuál es el VP de un flujo C por n períodos, con la primera cuota en el período 1? VP C = (1 + r) i= 1.. n i = C r 1 1 n r) Valor presente de una Anualidad 7 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

8 Crédito hipotecario Suponga que el 31 de diciembre de 1999 usted tomó un crédito hipotecario para financiar el 80% de la adquisición de una vivienda de UF El crédito tenía las siguientes caracterís.cas Tasa: 4,5% anual Primera cuota: 31 de diciembre de 2000 Dividendo 240,6 UF Plazo: 30 años Descomposición de la cuota del crédito hipotecario Interés Amortización ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

9 Crédito hipotecario Cuántas cuotas quedan por pagar? Cuál es el valor total de éstas? Cuál es el valor de las cuotas que quedan por pagar justo después de pagar la cuota del año 2009? 1 1 VP = 240,6 = UF ,5% 4,5% 4,5% ) 9 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

10 Anualidad con crecimiento Cuál es el VP de un flujo C por n períodos, si el flujo C crece a una tasa g anual, con la primera cuota en el período 1? VP = C r) + ( + g) 2 r) C 1 + ( + g) 3 r) C ( + g) r) n C 1 n-1 VP C (1 + g) = i (1 + r) i= 1.. n i 1 = C r g g r n Valor presente de una Anualidad con crecimiento 10 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

11 Perpetuidad Cuál es el VP de un flujo C perpetuo, con la primera cuota en el período 1? VP = C (1 + r = i i= 1.. ) C r Valor presente de una perpetuidad Ejemplo: Usted es el encargado de finanzas de la Corporación Educacional Crea +. Un conocido empresario le ofrece donar $ 1,000,000 al año de manera indefinida para becas o un pago en efec.vo de $ 11,000,000. Supongamos que la tasa de interés es de 10% (anual simple) Qué escogería usted? 11 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

12 Perpetuidad con crecimiento Si el flujo perpetuo anterior crece a una tasa g, entonces: VP C1 C2 C3 = r) r) r) r) 1 g) 2 r) g) r) C1 C C VP = VP = C 1 r g Valor presente de un flujo perpetuo que crece a tasa g 12 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

13 Perpetuidad con crecimiento Ejemplo: Usted es el encargado de finanzas de la Corporación Educacional Crea+. Un conocido empresario le ofrece donar $ 1,000,000 al año reajustando su aporte por el IPC, de manera indefinida para becas o un pago en efec.vo de $ 15,000,000. Supongamos que la tasa de interés es de 10% (anual simple) Qué escogería usted? 13 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

14 Selección de proyectos Supongamos que tenemos tres alterna.vas para inver.r, los que generarán los siguientes flujos. Suponga que la tasa de descuento relevante es del 10%. Flujo Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 T = T = T = T = Los 3 proyectos requieren una inversión de $100, y entregan flujos por $210, pero los flujos son recibidos en dis.ntas fechas. Cuál se elige? 14 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

15 Selección de proyectos Cuál se elige? El con mayor VAN Flujo Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 T = T = T = T = VAN El proyecto 2.ene un VAN mayor en $7 que el proyecto 1. Por qué sucede eso? 15 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

16 Impacto de la tasa de descuento Estudiemos como cambia el VAN de un proyecto a medida que cambia la tasa de descuento. Supongamos que tenemos un proyecto A con los siguientes flujos C0 = -100 (inversión) C1 = 115 VAN 115 = r El VAN del proyecto es decreciente en la tasa de descuento A mayor r el costo de oportunidad del capital es más alto, por lo que los flujos futuros valen menos hoy. 16 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

17 Impacto de la tasa de descuento VAN ($) % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% -5 El VAN del proyecto es decreciente en la tasa de descuento A mayor r el costo de oportunidad del capital es más alto, por lo que los flujos futuros valen menos hoy. Cuál es la tasa de descuento tal que el VAN sea cero? Tasa de descuento VAN 115 = r 17 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

18 Tasa interna de retorno - TIR Se llama Tasa Interna de Retorno (TIR) a la tasa de descuento necesaria para que el VAN sea igual a cero = F i i i= 0.. N (1 + TIR) 10 VAN ($) 5 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Tasa de descuento La TIR es la rentabilidad de un proyecto. 18 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

19 Tasa interna de retorno - TIR Para un proyecto de inversión: Si TIR (A) > Costo de capital à VAN > 0 Si TIR (A) = Costo de capital à VAN = 0 Si TIR (A) < Costo de capital à VAN < 0 Para un proyecto de endeudamiento (recibo primero los flujos y después los pagos): Si TIR (A) < Costo de capital à VAN > 0 Si TIR (A) = Costo de capital à VAN = 0 Si TIR (A) > Costo de capital à VAN < 0 19 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

20 Problemas de la TIR Cambios de signos en los flujos: Tenemos un proyecto con los siguientes flujos, con r = 10% C0 = -100 C1 = 250 C2 = La TIR debe ser mayor o menor al costo de capital? 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Tenemos más de una TIR VAN ($) Tasa de descuento 20 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

21 Problemas de la TIR No considera escala: Dos proyectos A y B. Si TIR (A) > TIR (B), es mejor A que B? Proyecto C0 C1 TIR VAN (10%) A % 4.5 B - 1,000,000 1,120, % 18,181.8 El criterio de selección de proyectos por TIR no considera la escala, si no que el retorno por peso inver.do, por lo que la selección de proyectos debiese ser por VAN. Aun así, la TIR es una medida de sensibilidad en términos de la rentabilidad por peso inver.do, por lo cual es muy u.lizada. 21 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

22 Tasa de interés Suponga que usted.ene un capital de $100, y una carpeta de proyectos que.enen una duración de 12 meses. Suponga que un Banco le ofrece un depósito a plazo por $100 a 12 meses y ofrece pagar el 10% de interés simple anual. Cuáles proyectos realiza? 22 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

23 Tasa de interés Cuál pueden ser las diferencias entre tasas de interés? MEDICIÓN Anual Mensual Diaria Etc. COMPOSICIÓN y FRECUENCIA DE COMPOSICIÓN Simple (lineal) Compuesta BASE Anual, mensual, quincenal, semanal, diaria Con.nua Base Act/365 Base Act/360 Base 30/360 Etc. 23 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

24 Tasa de interés MEDICIÓN COMPOSICIÓN - FRECUENCIA BASE Tasa de 0,8% mensual simple en base Act./365 Tasa de 0,8% mensual compuesta mensual en base 30/360 Tasa de 0,8% mensual compuesta diaria en base 30/360 Tasa de 0,8% mensual compuesta con<nua en base Act./ ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

25 Composición Un banco toma un depósito a plazo por $100 a 12 meses y ofrece pagar el 1% de interés mensual. Cuánto pagará el banco al vencimiento del depósito a plazo? Caso mensual simple: los intereses se entregan al final de los t períodos, en este caso 12 meses. X ( 1 + r ) = 100 1% 12) = 112 = C t Caso mensual compuesto mensual: los intereses se entregan al final de cada mes, los que se depositan (reinvierten) X = C t r) = 100 1% ) 12 = ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

26 Composición Un banco toma un depósito a plazo por $100 a 12 meses y ofrece pagar el 1% de interés mensual. Cuánto pagará el banco al vencimiento del depósito a plazo? Caso mensual compuesto quincenal: los intereses se entregan al final de cada quincena, los que se depositan (reinvierten) X 2 t 12 2 = C 1 + r 2 1% = = ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

27 Composición Fórmula general del interés compuesto: X m t r Dónde: = C 1+ m m = Frecuencia de composición (veces que se reparten y depositan los intereses) t = número de períodos Qué pasa si los intereses se capitalizan a cada instante?: interés compuesto con.nuo X = lim C 1+ m r m m t = C e r t Ejemplo: Transformación tasa anual compuesta anual (r1) a tasa anual compuesta con.nua (r2): basta con igualar los factores t r2 t r ) = e r = ln( + r ) ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

28 Composición Es lo mismo un crédito/préstamo a interés simple o compuesto? Comparemos un interés del 12% anual compuesto anual, y un interés del 12% anual simple Valor depósito Valor depósito Anual Simple (12%) Anual Compuesto Anual (12%) Anual Simple (25%) Anual Compuesto Anual (25%) Plazo Anual simple Anual compuesto anual Plazo Hasta el año 1, un depósito con una tasa de interés anual simple vale más que uno con una tasa de interés anual compuesta anual. Las diferencias entre utilizar interés simple o compuesto son crecientes en el tiempo y en la tasa. 28 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

29 Composición Ejemplo 1: Se.ene una tasa anual compuesta anual de 8%. A qué tasa anual compuesta semestral equivale? A qué tasa anual compuesta mensual equivale? 1 t 8% r 1 + = 1 + ACS 1 2 racs = 7.846% 1 t 8% r 1 + = r = 7.721% ACM ACM 2 t 12 t r 2 ( 1) ( 1 + 8% ) = 1 + ACS r = 2 8% ) r ( 1) ( 1 + 8% ) = 1 + ACM r = % ) ACS ACM Ejemplo 2: Se.ene una tasa anual compuesta con.nua de 8%. A qué tasa anual compuesta anual equivale? t 0.08 t r ) = e r = 8.328% ACA Ejemplo 3: Se.ene una tasa anual compuesta anual de 8%. A qué tasa diaria compuesta diaria equivale? ACA 29 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

30 Base La BASE en que se considere la tasa de interés determina la forma en que se contabilizan los días transcurridos entre una fecha y otra. Hay dis.ntos.pos de bases: Base Act./365: Años de 365 días, y se consideran los días efec.vamente transcurridos entre dos fechas. Base Act./360: Años de 360 días, y se consideran los días efec.vamente transcurridos entre dos fechas. Base 30/360: Años de 360 días, y se consideran meses de 30 días. 30 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

31 Base Ejemplo 3: Se.ene una tasa anual compuesta anual de 8%. A qué tasa diaria compuesta diaria equivale? Base Act./ ( r DCD ) = 8% ) r % 1 + ( Act./365) DCD ( Act./365) = Base Act./360 y 30/360 ( ) 360 r DCD = 8% ) r % 1 + ( Act./360) DCD ( Act./360) = 31 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

32 Tasa de interés implícita Cuál es la tasa de interés implícita? = = (1 ) i i= + r rmc (1 + rmc ) r MC = % r AC = 29.88% La tasa de interés implícita en el crédito de la oferta es de 29.88% anual compuesta. 32 ICS 2613 M.E. Lisboa M. Ariz6a 1er. Semestre 2013

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